Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(sinxtgx+2cosx=a\)
Ответ
NaN
Решение № 21664:
Для решения уравнения \(\sin x \tan x + 2 \cos x = a\), выполним следующие шаги:
```html
- Выразим \(\tan x\) через \(\sin x\) и \(\cos x\):
\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\). Тогда уравнение принимает вид:
\(\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 2 \cos x = a\)
- Умножим обе части уравнения на \(\cos x\):
\(\sin^2 x + 2 \cos^2 x = a \cos x\)
- Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):
\(\sin^2 x + 2 \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x + \cos^2 x = 1 + \cos^2 x\). Тогда уравнение принимает вид:
\(1 + \cos^2 x = a \cos x\)
- Перенесём все члены в одну сторону:
\(\cos^2 x - a \cos x + 1 = 0\)
- Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно \(\cos x\):
Пусть \(y = \cos x\), тогда уравнение принимает вид:
\(y^2 - a y + 1 = 0\)
- Решим квадратное уравнение:
Найдём дискриминант \(D\):
\(D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = a^2 - 4\)
- Рассмотрим три случая в зависимости от значения дискриминанта:
- Если \(D < 0\), то есть \(a^2 - 4 < 0\), то уравнение не имеет решений.
- Если \(D = 0\), то есть \(a^2 - 4 = 0\), то \(a = \pm 2\). Тогда уравнение имеет одно решение:
- Если \(a = 2\), то \(y = 1\), и \(\cos x = 1\), что происходит при \(x = 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
- Если \(a = -2\), то \(y = -1\), и \(\cos x = -1\), что происходит при \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
- Если \(D > 0\), то есть \(a^2 - 4 > 0\), то уравнение имеет два решения:
\(y_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2}\). Тогда \(\cos x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2}\), и \(x = \pm \arccos \left( \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2} \right) + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
```
Таким образом, решение уравнения \(\sin x \tan x + 2 \cos x = a\) зависит от значения \(a\) и может иметь от 0 до бесконечного числа решений в зависимости от дискриминанта.