Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{4}x-2cos^{2}x+a^{2}=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21663:

Рассмотрим уравнение \( \sin^4 x - 2 \cos^2 x + a^2 = 0 \).

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \]
2. Подставим \(\cos^2 x\) в уравнение: \[ \sin^4 x - 2 (1 - \sin^2 x) + a^2 = 0 \]
3. Раскроем скобки: \[ \sin^4 x - 2 + 2 \sin^2 x + a^2 = 0 \]
4. Перепишем уравнение: \[ \sin^4 x + 2 \sin^2 x + a^2 - 2 = 0 \]
5. Сделаем замену переменной \( y = \sin^2 x \): \[ y^2 + 2y + a^2 - 2 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение относительно \( y \): \[ y^2 + 2y + a^2 - 2 = 0 \] используя формулу квадратного уравнения \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = a^2 - 2 \): \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(a^2 - 2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4a^2 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12 - 4a^2}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3 - a^2}}{2} = -1 \pm \sqrt{3 - a^2} \]
7. Так как \( y = \sin^2 x \) и \( \sin^2 x \) всегда неотрицательно, рассмотрим только положительное решение: \[ y = -1 + \sqrt{3 - a^2} \] Для того чтобы \( y \) было неотрицательным: \[ -1 + \sqrt{3 - a^2} \geq 0 \implies \sqrt{3 - a^2} \geq 1 \implies 3 - a^2 \geq 1 \implies a^2 \leq 2 \]
8. Вернемся к исходной переменной \( x \): \[ \sin^2 x = -1 + \sqrt{3 - a^2} \] \[ \sin x = \pm \sqrt{-1 + \sqrt{3 - a^2}} \]
9. Таким образом, решения для \( x \) будут: \[ x = \pm \arcsin \sqrt{-1 + \sqrt{3 - a^2}} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \arcsin \sqrt{-1 + \sqrt{3 - a^2}} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)