Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{4}x+cos^{4}x+sin2x=a\)

Ответ

NaN

Решение № 21662:

Для решения уравнения \( \sin^4 x + \cos^4 x + \sin 2x = a \), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу для суммы четвёртых степеней синуса и косинуса: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x \]
2. Применяем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x \]
3. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x, \quad \text{откуда} \quad \sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x \]
4. Подставляем \(\sin^2 2x\) в нашу формулу: \[ 2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x \] Тогда: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x \]
5. Подставляем полученное выражение в исходное уравнение: \[ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x + \sin 2x = a \]
6. Вводим замену \( t = \sin 2x \): \[ 1 - \frac{1}{2} t^2 + t = a \]
7. Умножаем все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 2 - t^2 + 2t = 2a \]
8. Переносим все члены на одну сторону: \[ t^2 - 2t + (2a - 2) = 0 \]
9. Решаем квадратное уравнение относительно \( t \): \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(2a - 2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3 - 2a} \]
10. Возвращаемся к переменной \( x \): \[ \sin 2x = 1 \pm \sqrt{3 - 2a} \]
11. Рассматриваем два случая:
    1. Если \(\sin 2x = 1 + \sqrt{3 - 2a}\): \[ \sin 2x = 1 + \sqrt{3 - 2a} \] Этот случай возможен только если \( 1 + \sqrt{3 - 2a} \leq 1 \), что невозможно.
    2. Если \(\sin 2x = 1 - \sqrt{3 - 2a}\): \[ \sin 2x = 1 - \sqrt{3 - 2a} \] Этот случай возможен если \( 1 - \sqrt{3 - 2a} \in [-1, 1] \).
12. Решаем уравнение \(\sin 2x = 1 - \sqrt{3 - 2a}\): \[ 2x = \arcsin(1 - \sqrt{3 - 2a}) + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \arcsin(1 - \sqrt{3 - 2a}) + 2k\pi \] где \( k \in \mathbb{Z} \).
13. Находим \( x \): \[ x = \frac{1}{2} \arcsin(1 - \sqrt{3 - 2a}) + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin(1 - \sqrt{3 - 2a}) + k\pi \]

Ответ: \( x = \frac{1}{2} \arcsin(1 - \sqrt{3 - 2a}) + k\pi \) или \( x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin(1 - \sqrt{3 - 2a}) + k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \).