Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(a\left ( cosx+\frac{1}{cosx} \right )+1=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21661:

Конечно, давайте решим уравнение \(a\left ( \cos x + \frac{1}{\cos x} \right ) + 1 = 0\) пошагово.

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ a \left( \cos x + \frac{1}{\cos x} \right) + 1 = 0 \]
2. Умножим обе части уравнения на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x \neq 0\)): \[ a \left( \cos^2 x + 1 \right) + \cos x = 0 \]
3. Перенесём все члены в одну сторону: \[ a \cos^2 x + a + \cos x = 0 \]
4. Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(\cos x\): \[ a \cos^2 x + \cos x + a = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение для \(\cos x\). Пусть \(y = \cos x\), тогда: \[ a y^2 + y + a = 0 \]
6. Найдём дискриминант квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot a \cdot a = 1 - 4a^2 \]
7. Для того чтобы уравнение имело реальные решения, дискриминант должен быть неотрицательным: \[ 1 - 4a^2 \geq 0 \] \[ 1 \geq 4a^2 \] \[ \frac{1}{4} \geq a^2 \] \[ -\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2} \]
8. Найдём корни квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4a^2}}{2a} \]
9. Таким образом, \(\cos x\) может принимать значения: \[ \cos x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4a^2}}{2a} \]
10. Найдём \(x\) для каждого значения \(\cos x\): \[ x = \arccos \left( \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4a^2}}{2a} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \arccos \left( \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4a^2}}{2a} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \), при условии \( -\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2} \)