Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{2}x+asin^{2}2x=\frac{1}{2}\)

Ответ

NaN

Решение № 21660:

Решим уравнение \( \sin^2 x + a \sin^2 2x = \frac{1}{2} \) пошагово.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \]
2. Подставим \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) в исходное уравнение: \[ 1 - \cos^2 x + a \sin^2 2x = \frac{1}{2} \]
3. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] \[ \sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x \]
4. Подставим \(\sin^2 2x\) в уравнение: \[ 1 - \cos^2 x + a \cdot 4 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \]
5. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) снова: \[ 1 - \cos^2 x + a \cdot 4 (1 - \cos^2 x) \cos^2 x = \frac{1}{2} \]
6. Упростим уравнение: \[ 1 - \cos^2 x + 4a (1 - \cos^2 x) \cos^2 x = \frac{1}{2} \]
7. Введем новую переменную \( y = \cos^2 x \): \[ 1 - y + 4a (1 - y) y = \frac{1}{2} \]
8. Упростим выражение: \[ 1 - y + 4a y - 4a y^2 = \frac{1}{2} \]
9. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 4a y^2 - (1 + 4a) y + \frac{1}{2} = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение относительно \( y \): \[ 4a y^2 - (1 + 4a) y + \frac{1}{2} = 0 \]
11. Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 4a \), \( b = -(1 + 4a) \), \( c = \frac{1}{2} \).
12. Подставим значения: \[ y = \frac{(1 + 4a) \pm \sqrt{(1 + 4a)^2 - 4 \cdot 4a \cdot \frac{1}{2}}}{2 \cdot 4a} \] \[ y = \frac{(1 + 4a) \pm \sqrt{1 + 8a + 16a^2 - 8a}}{8a} \] \[ y = \frac{(1 + 4a) \pm \sqrt{1 + 16a^2}}{8a} \]
13. Найдем значения \( y \): \[ y = \frac{(1 + 4a) \pm \sqrt{1 + 16a^2}}{8a} \]
14. Вернемся к переменной \( \cos^2 x \): \[ \cos^2 x = \frac{(1 + 4a) \pm \sqrt{1 + 16a^2}}{8a} \]
15. Найдем \( x \): \[ x = \arccos \left( \pm \sqrt{\frac{(1 + 4a) \pm \sqrt{1 + 16a^2}}{8a}} \right) \]

Ответ: \( x = \arccos \left( \pm \sqrt{\frac{(1 + 4a) \pm \sqrt{1 + 16a^2}}{8a}} \right) \)