Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{6}x+cos^{6}x=a\)

Ответ

NaN

Решение № 21659:

Для решения уравнения \( \sin^6 x + \cos^6 x = a \), воспользуемся несколькими тригонометрическими тождествами и алгебраическими преобразованиями. 1. **Используем основное тригонометрическое тождество:** \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] 2. **Возводим обе части в куб:** \[ (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 = 1^3 = 1 \] 3. **Раскрываем куб суммы:** \[ (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 = \sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) \] Поскольку \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), то: \[ (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 = \sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x \] 4. **Подставляем \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) в уравнение:** \[ 1 = \sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x \] 5. **Используем формулу двойного угла для синуса:** \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \implies \sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x \] Следовательно: \[ \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x \] 6. **Подставляем \(\sin^2 x \cos^2 x\) в уравнение:** \[ 1 = \sin^6 x + \cos^6 x + 3 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x \] \[ 1 = \sin^6 x + \cos^6 x + \frac{3}{4} \sin^2 2x \] 7. **Из уравнения \( \sin^6 x + \cos^6 x = a \) выражаем \(a\):** \[ a = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x \] 8. **Решаем уравнение относительно \(\sin^2 2x\):** \[ \sin^2 2x = \frac{4}{3} (1 - a) \] 9. **Ограничиваем значение \(\sin^2 2x\):** Поскольку \(\sin^2 2x\) должно быть в диапазоне \([0, 1]\), то: \[ 0 \leq \frac{4}{3} (1 - a) \leq 1 \] \[ 0 \leq \frac{4}{3} - \frac{4}{3} a \leq 1 \] 10. **Решаем неравенства:** \[ 0 \leq \frac{4}{3} - \frac{4}{3} a \implies a \leq 1 \] \[ \frac{4}{3} - \frac{4}{3} a \leq 1 \implies a \geq \frac{1}{4} \] 11. **Заключение:** \[ \frac{1}{4} \leq a \leq 1 \] Таким образом, решение уравнения \( \sin^6 x + \cos^6 x = a \) возможно при \( \frac{1}{4} \leq a \leq 1 \). \[ \boxed{\frac{1}{4} \leq a \leq 1} \]