Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin2x+3cos2x=a\)

Ответ

NaN

Решение № 21657:

Для решения уравнения \( \sin 2x + 3 \cos 2x = a \), воспользуемся методом выражения линейной комбинации синуса и косинуса через одну тригонометрическую функцию.

1. Представим выражение в виде одной тригонометрической функции: \[ \sin 2x + 3 \cos 2x = R \sin(2x + \varphi) \] где \( R = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \) и \( \varphi \) — угол, такой что \( \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{10}} \) и \( \sin \varphi = \frac{3}{\sqrt{10}} \).
2. Найдём угол \( \varphi \): \[ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{10}}, \quad \sin \varphi = \frac{3}{\sqrt{10}} \] Таким образом, \( \varphi = \arctan 3 \).
3. Подставим \( R \) и \( \varphi \) в уравнение: \[ \sin 2x + 3 \cos 2x = \sqrt{10} \sin(2x + \arctan 3) \]
4. Перепишем уравнение: \[ \sqrt{10} \sin(2x + \arctan 3) = a \]
5. Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{10} \): \[ \sin(2x + \arctan 3) = \frac{a}{\sqrt{10}} \]
6. Решим уравнение для синуса: \[ 2x + \arctan 3 = \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{10}} \right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x + \arctan 3 = \pi - \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{10}} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Выразим \( x \): \[ x = \frac{1}{2} \left[ \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{10}} \right) - \arctan 3 + 2k\pi \right] \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{2} \left[ \pi - \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{10}} \right) - \arctan 3 + 2k\pi \right], \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{1}{2} \left[ \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{10}} \right) - \arctan 3 + 2k\pi \right] \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{2} \left[ \pi - \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{10}} \right) - \arctan 3 + 2k\pi \right], \quad k \in \mathbb{Z} \]