Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(a^{2}tgx-25tgx-a-5=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21656:

Конечно, давайте решим уравнение \(a^{2} \operatorname{tg} x - 25 \operatorname{tg} x - a - 5 = 0\) пошагово.

1. Заменим \( \operatorname{tg} x \) на \( t \). Тогда уравнение примет вид: \[ a^{2} t - 25 t - a - 5 = 0 \]
2. Перенесём все члены с \( t \) на одну сторону: \[ a^{2} t - 25 t = a + 5 \]
3. Вынесем \( t \) за скобки: \[ t (a^{2} - 25) = a + 5 \]
4. Решим это уравнение относительно \( t \): \[ t = \frac{a + 5}{a^{2} - 25} \]
5. Заметим, что \( a^{2} - 25 \) можно представить как разность квадратов: \[ a^{2} - 25 = (a - 5)(a + 5) \]
6. Подставим это в наше уравнение: \[ t = \frac{a + 5}{(a - 5)(a + 5)} \]
7. Сократим дробь: \[ t = \frac{1}{a - 5} \]
8. Вернёмся к переменной \( x \): \[ \operatorname{tg} x = \frac{1}{a - 5} \]
9. Решим это уравнение относительно \( x \): \[ x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{a - 5} \right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{a - 5} \right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, мы нашли общее решение уравнения \(a^{2} \operatorname{tg} x - 25 \operatorname{tg} x - a - 5 = 0\).