Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(3sinx-3cosx=2a-1\)

Ответ

NaN

Решение № 21655:

1. Преобразуем уравнение: \[3\sin x - 3\cos x = 2a - 1\]
2. Вынесем общий множитель 3: \[3(\sin x - \cos x) = 2a - 1\]
3. Разделим обе части уравнения на 3: \[\sin x - \cos x = \frac{2a - 1}{3}\]
4. Вспомним формулу для разности синуса и косинуса через угол: \[\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)\]
5. Подставим в уравнение: \[\sqrt{2} \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2a - 1}{3}\]
6. Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\): \[\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2a - 1}{3\sqrt{2}}\]
7. Обозначим \(b = \frac{2a - 1}{3\sqrt{2}}\). Тогда: \[\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = b\]
8. Решим уравнение для синуса: \[x - \frac{\pi}{4} = \arcsin b + 2k\pi \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{4} = \pi - \arcsin b + 2k\pi\]
9. Решим для \(x\): \[x = \arcsin b + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin b + \frac{\pi}{4} + 2k\pi\]
10. Подставим \(b\) обратно: \[x = \arcsin \left(\frac{2a - 1}{3\sqrt{2}}\right) + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left(\frac{2a - 1}{3\sqrt{2}}\right) + \frac{\pi}{4} + 2k\pi\]

Ответ: \[x = \arcsin \left(\frac{2a - 1}{3\sqrt{2}}\right) + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left(\frac{2a - 1}{3\sqrt{2}}\right) + \frac{\pi}{4} + 2k\pi\]