Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(tg3x=atgx\)

Ответ

NaN

Решение № 21653:

Для решения уравнения \( \tan(3x) = a \tan(x) \), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу тройного угла для тангенса: \[ \tan(3x) = \frac{3\tan(x) - \tan^3(x)}{1 - 3\tan^2(x)} \] Подставляем эту формулу в уравнение: \[ \frac{3\tan(x) - \tan^3(x)}{1 - 3\tan^2(x)} = a \tan(x) \]
2. Умножаем обе части уравнения на \(1 - 3\tan^2(x)\) для избавления от знаменателя: \[ 3\tan(x) - \tan^3(x) = a \tan(x) (1 - 3\tan^2(x)) \]
3. Раскрываем скобки и приводим подобные: \[ 3\tan(x) - \tan^3(x) = a \tan(x) - 3a \tan^3(x) \] \[ 3\tan(x) - \tan^3(x) = a \tan(x) - 3a \tan^3(x) \] \[ 3\tan(x) - a \tan(x) = \tan^3(x) - 3a \tan^3(x) \] \[ (3 - a)\tan(x) = (1 - 3a)\tan^3(x) \]
4. Выносим \(\tan(x)\) за скобки: \[ \tan(x) \left[ (3 - a) - (1 - 3a)\tan^2(x) \right] = 0 \]
5. Решаем полученное уравнение, рассматривая два случая:
   • \(\tan(x) = 0\): \[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   • \((3 - a) - (1 - 3a)\tan^2(x) = 0\): \[ \tan^2(x) = \frac{3 - a}{1 - 3a} \] \[ \tan(x) = \pm \sqrt{\frac{3 - a}{1 - 3a}} \] \[ x = \pm \arctan\left(\sqrt{\frac{3 - a}{1 - 3a}}\right) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] или \[ x = \pm \arctan\left(\sqrt{\frac{3 - a}{1 - 3a}}\right) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]