Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(7sinx+3cosx=a\)

Ответ

NaN

Решение № 21652:

Конечно, давайте решим уравнение \(7 \sin x + 3 \cos x = a\) пошагово. ```html

1. Представляем выражение в виде \(R \sin(x + \phi)\), где \(R = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}\).
2. Ищем угол \(\phi\), такой что: \[ \cos \phi = \frac{7}{\sqrt{58}}, \quad \sin \phi = \frac{3}{\sqrt{58}} \]
3. Переписываем исходное уравнение: \[ 7 \sin x + 3 \cos x = \sqrt{58} \sin(x + \phi) \]
4. Теперь уравнение принимает вид: \[ \sqrt{58} \sin(x + \phi) = a \]
5. Решаем уравнение относительно \(\sin(x + \phi)\): \[ \sin(x + \phi) = \frac{a}{\sqrt{58}} \]
6. Рассматриваем два случая в зависимости от значения \(a\):
   1. Если \(\left|\frac{a}{\sqrt{58}}\right| > 1\), то уравнение не имеет решений.
   2. Если \(\left|\frac{a}{\sqrt{58}}\right| \leq 1\), то: \[ x + \phi = \arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{58}}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + \phi = \pi - \arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{58}}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Находим \(x\): \[ x = \arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{58}}\right) - \phi + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{58}}\right) - \phi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

```

Ответ: \(x = \arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{58}}\right) - \phi + 2k\pi\) или \(x = \pi - \arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{58}}\right) - \phi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\), если \(\left|\frac{a}{\sqrt{58}}\right| \leq 1\). В противном случае решений нет.