Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin4x=a(sin3x-sinx)\)

Ответ

NaN

Решение № 21651:

Решим уравнение \( \sin 4x = a (\sin 3x - \sin x) \) пошагово. 1. **Используем формулу для синуса суммы углов**: \[ \sin 4x = \sin (3x + x) = \sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x \] 2. **Подставляем выражение для \(\sin 4x\) в уравнение**: \[ \sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x = a (\sin 3x - \sin x) \] 3. **Переносим все члены на одну сторону уравнения**: \[ \sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x - a \sin 3x + a \sin x = 0 \] 4. **Группируем слагаемые**: \[ \sin 3x (\cos x - a) + \sin x (\cos 3x + a) = 0 \] 5. **Рассмотрим два случая**: - **Случай 1**: \(\sin 3x = 0\) \[ \sin 3x = 0 \implies 3x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \] - **Случай 2**: \(\sin 3x \neq 0\) \[ \cos x - a = 0 \implies \cos x = a \] \[ \cos 3x + a = 0 \implies \cos 3x = -a \] 6. **Решаем систему уравнений**: - **Для \(\cos x = a\)**: \[ x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] - **Для \(\cos 3x = -a\)**: \[ 3x = \pm \arccos (-a) + 2m\pi \implies x = \frac{\pm \arccos (-a) + 2m\pi}{3}, \quad m \in \mathbb{Z} \] 7. **Объединяем решения**: \[ x = \frac{n\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pm \arccos (-a) + 2m\pi}{3}, \quad m \in \mathbb{Z} \] ### Ответ: \[ x = \frac{n\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pm \arccos (-a) + 2m\pi}{3}, \quad m \in \mathbb{Z} \]