Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos2x=a(cosx-sinx)\)

Ответ

NaN

Решение № 21650:

Решим уравнение \( \cos(2x) = a(\cos(x) - \sin(x)) \) пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \cos^2(x) - \sin^2(x) = a(\cos(x) - \sin(x)) \]
2. Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ \cos^2(x) - \sin^2(x) - a\cos(x) + a\sin(x) = 0 \]
3. Разделим уравнение на две части: \[ (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) = a(\cos(x) - \sin(x)) \]
4. Рассмотрим два случая:
   • Случай 1: \(\cos(x) - \sin(x) = 0\)
   • Случай 2: \(\cos(x) + \sin(x) = a\)
5. Решение для случая 1: \[ \cos(x) - \sin(x) = 0 \implies \cos(x) = \sin(x) \implies \tan(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Решение для случая 2: \[ \cos(x) + \sin(x) = a \] Для этого случая нужно решить систему уравнений: \[ \begin{cases} \cos(x) + \sin(x) = a \\ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \end{cases} \] Подставляем \(\sin(x) = a - \cos(x)\) в основное тригонометрическое тождество: \[ \cos^2(x) + (a - \cos(x))^2 = 1 \] Расширяем и упрощаем: \[ \cos^2(x) + a^2 - 2a\cos(x) + \cos^2(x) = 1 \] \[ 2\cos^2(x) - 2a\cos(x) + a^2 = 1 \] \[ 2\cos^2(x) - 2a\cos(x) + a^2 - 1 = 0 \] Решаем квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\): \[ \cos(x) = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 2(a^2 - 1)}}{2} \] \[ \cos(x) = \frac{a \pm \sqrt{2 - a^2}}{2} \]
7. Находим \(\sin(x)\): \[ \sin(x) = a - \cos(x) = a - \frac{a \pm \sqrt{2 - a^2}}{2} \] \[ \sin(x) = \frac{2a - a \mp \sqrt{2 - a^2}}{2} \] \[ \sin(x) = \frac{a \mp \sqrt{2 - a^2}}{2} \]
8. Таким образом, решения для случая 2: \[ x = \arcsin\left(\frac{a \mp \sqrt{2 - a^2}}{2}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\) или \(x = \arcsin\left(\frac{a \mp \sqrt{2 - a^2}}{2}\right) + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)