Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos(a+x)=\frac{cosa}{cosx}\)

Ответ

NaN

Решение № 21649:

Решим уравнение \( \cos(a+x) = \frac{\cos a}{\cos x} \) пошагово.

1. Используем формулу для косинуса суммы углов: \[ \cos(a + x) = \cos a \cos x - \sin a \sin x \]
2. Подставляем эту формулу в исходное уравнение: \[ \cos a \cos x - \sin a \sin x = \frac{\cos a}{\cos x} \]
3. Умножаем обе части уравнения на \(\cos x\): \[ \cos a \cos^2 x - \sin a \sin x \cos x = \cos a \]
4. Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ \cos a \cos^2 x - \sin a \sin x \cos x - \cos a = 0 \]
5. Выделяем общий множитель \(\cos a\): \[ \cos a (\cos^2 x - 1) - \sin a \sin x \cos x = 0 \]
6. Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\): \[ \cos^2 x - 1 = -\sin^2 x \]
7. Подставляем это в уравнение: \[ \cos a (-\sin^2 x) - \sin a \sin x \cos x = 0 \]
8. Выделяем общий множитель \(\sin x\): \[ -\cos a \sin^2 x - \sin a \sin x \cos x = 0 \]
9. Разделяем уравнение на два случая:
   1. Первый случай: \(\sin x = 0\): \[ \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Подставляем \(x = k\pi\) в исходное уравнение: \[ \cos(a + k\pi) = \cos a \cos(k\pi) \implies \cos a \cos(k\pi) = \cos a \cos(k\pi) \] Это верно для любого \(k \in \mathbb{Z}\).
   2. Второй случай: \(\sin x \neq 0\): \[ -\cos a \sin x - \sin a \cos x = 0 \] Делим обе части на \(\sin x\): \[ -\cos a - \sin a \cot x = 0 \] Решаем относительно \(\cot x\): \[ \cot x = -\frac{\cos a}{\sin a} = -\cot a \] Используем тождество \(\cot(x + \frac{\pi}{2}) = -\cot x\): \[ x = a + \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = k\pi \) или \( x = a + \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \)