Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \((5a-1)cosx=2a+3\)

Ответ

NaN

Решение № 21648:

Для решения уравнения \((5a-1)\cos x = 2a + 3\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим уравнение: \[ (5a-1)\cos x = 2a + 3 \]
2. Разделим обе части уравнения на \(5a-1\), предполагая, что \(5a-1 \neq 0\): \[ \cos x = \frac{2a + 3}{5a - 1} \]
3. Обозначим \(k = \frac{2a + 3}{5a - 1}\). Уравнение принимает вид: \[ \cos x = k \]
4. Так как \(\cos x\) должен быть в диапазоне \([-1, 1]\), то \(k\) также должно быть в этом диапазоне: \[ -1 \leq k \leq 1 \]
5. Подставим выражение для \(k\): \[ -1 \leq \frac{2a + 3}{5a - 1} \leq 1 \]
6. Рассмотрим неравенство \(-1 \leq \frac{2a + 3}{5a - 1}\): \[ -1 \leq \frac{2a + 3}{5a - 1} \] Умножим обе части на \(5a - 1\) (предполагая, что \(5a - 1 > 0\)): \[ -(5a - 1) \leq 2a + 3 \] \[ -5a + 1 \leq 2a + 3 \] \[ -7a \leq 2 \] \[ a \geq -\frac{2}{7} \]
7. Рассмотрим неравенство \(\frac{2a + 3}{5a - 1} \leq 1\): \[ \frac{2a + 3}{5a - 1} \leq 1 \] Умножим обе части на \(5a - 1\) (предполагая, что \(5a - 1 > 0\)): \[ 2a + 3 \leq 5a - 1 \] \[ 3 \leq 3a - 1 \] \[ 4 \leq 3a \] \[ a \geq \frac{4}{3} \]
8. Таким образом, \(a\) должно удовлетворять следующим условиям: \[ a \geq -\frac{2}{7} \quad \text{и} \quad a \geq \frac{4}{3} \] Наиболее строгим условием является \(a \geq \frac{4}{3}\).
9. Теперь рассмотрим случай, когда \(5a - 1 < 0\): \[ 5a - 1 < 0 \implies a < \frac{1}{5} \] В этом случае неравенства меняют знак: \[ -1 \leq \frac{2a + 3}{5a - 1} \] Умножим обе части на \(5a - 1\) (предполагая, что \(5a - 1 < 0\)): \[ -(5a - 1) \geq 2a + 3 \] \[ -5a + 1 \geq 2a + 3 \] \[ -7a \geq 2 \] \[ a \leq -\frac{2}{7} \]
10. Рассмотрим неравенство \(\frac{2a + 3}{5a - 1} \leq 1\): \[ \frac{2a + 3}{5a - 1} \leq 1 \] Умножим обе части на \(5a - 1\) (предполагая, что \(5a - 1 < 0\)): \[ 2a + 3 \geq 5a - 1 \] \[ 3 \geq 3a - 1 \] \[ 4 \geq 3a \] \[ a \leq \frac{4}{3} \]
11. Таким образом, для \(a < \frac{1}{5}\), \(a\) должно удовлетворять следующим условиям: \[ a \leq -\frac{2}{7} \quad \text{и} \quad a \leq \frac{4}{3} \] Наиболее строгим условием является \(a \leq -\frac{2}{7}\).
12. Итак, решения для \(a\) следующие: \[ a \geq \frac{4}{3} \quad \text{или} \quad a \leq -\frac{2}{7} \]
13. Для этих значений \(a\), уравнение \(\cos x = k\) имеет решения в виде: \[ x = \pm \arccos(k) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: Уравнение имеет решения при \(a \geq \frac{4}{3}\) или \(a \leq -\frac{2}{7}\).