Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(cos^{2}x=a^{2}-1\)
Ответ
NaN
Решение № 21647:
Конечно, давайте решим уравнение \( \cos^2 x = a^2 - 1 \) пошагово, используя HTML тэги для выделения пунктов.
- Начнем с исходного уравнения:
\[
\cos^2 x = a^2 - 1
\]
- Заметим, что \(\cos^2 x\) всегда находится в диапазоне \([0, 1]\). Следовательно, \(a^2 - 1\) также должно находиться в этом диапазоне:
\[
0 \leq a^2 - 1 \leq 1
\]
- Решим неравенство для \(a^2 - 1\):
\[
0 \leq a^2 - 1 \implies a^2 \geq 1
\]
\[
a^2 - 1 \leq 1 \implies a^2 \leq 2
\]
- Теперь объединим оба неравенства:
\[
1 \leq a^2 \leq 2
\]
- Извлечем корень из \(a^2\), чтобы найти возможные значения \(a\):
\[
\sqrt{1} \leq |a| \leq \sqrt{2}
\]
\[
1 \leq |a| \leq \sqrt{2}
\]
- Таким образом, \(a\) может быть в диапазоне:
\[
- \sqrt{2} \leq a \leq -1 \quad \text{или} \quad 1 \leq a \leq \sqrt{2}
\]
- Перепишем уравнение \(\cos^2 x = a^2 - 1\) в виде:
\[
\cos x = \pm \sqrt{a^2 - 1}
\]
- Решим уравнение для \(\cos x = \sqrt{a^2 - 1}\):
\[
x = \arccos(\sqrt{a^2 - 1}) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\arccos(\sqrt{a^2 - 1}) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Решим уравнение для \(\cos x = -\sqrt{a^2 - 1}\):
\[
x = \arccos(-\sqrt{a^2 - 1}) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\arccos(-\sqrt{a^2 - 1}) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- С учетом того, что \(\arccos(-\sqrt{a^2 - 1}) = \pi - \arccos(\sqrt{a^2 - 1})\), получим:
\[
x = \pi - \arccos(\sqrt{a^2 - 1}) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi + \arccos(\sqrt{a^2 - 1}) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Ответ:
Решения уравнения \(\cos^2 x = a^2 - 1\) будут:
-
\( x = \arccos(\sqrt{a^2 - 1}) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
-
\( x = -\arccos(\sqrt{a^2 - 1}) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
-
\( x = \pi - \arccos(\sqrt{a^2 - 1}) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
-
\( x = \pi + \arccos(\sqrt{a^2 - 1}) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
При этом \(a\) должно удовлетворять условию: \( - \sqrt{2} \leq a \leq -1 \) или \( 1 \leq a \leq \sqrt{2} \).