Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sinx=\frac{a+1}{a-1}\)

Ответ

NaN

Решение № 21646:

Решение уравнения \( \sin x = \frac{a+1}{a-1} \) пошагово:

1. Рассмотрим условие существования синуса: \[ -1 \leq \sin x \leq 1 \] Для выполнения уравнения \(\sin x = \frac{a+1}{a-1}\) должно быть: \[ -1 \leq \frac{a+1}{a-1} \leq 1 \]
2. Рассмотрим два неравенства: \[ -1 \leq \frac{a+1}{a-1} \] и \[ \frac{a+1}{a-1} \leq 1 \]
3. Рассмотрим первое неравенство: \[ -1 \leq \frac{a+1}{a-1} \] Перепишем его в виде: \[ -1(a-1) \leq a+1 \] Умножим обе части на \((a-1)\), учитывая знак \(a-1\): \[ -(a-1) \leq a+1 \] Раскроем скобки: \[ -a+1 \leq a+1 \] Упростим: \[ -a \leq a \] Умножим обе части на \(-1\): \[ a \geq 0 \]
4. Рассмотрим второе неравенство: \[ \frac{a+1}{a-1} \leq 1 \] Перепишем его в виде: \[ a+1 \leq a-1 \] Умножим обе части на \((a-1)\), учитывая знак \(a-1\): \[ a+1 \leq a-1 \] Упростим: \[ 1 \leq -1 \] Это невозможно, поэтому: \[ a \leq 0 \]
5. Совместим оба неравенства: \[ a \geq 0 \quad \text{и} \quad a \leq 0 \] Это возможно только при: \[ a = 0 \]
6. Подставим \(a = 0\) в исходное уравнение: \[ \sin x = \frac{0+1}{0-1} = \frac{1}{-1} = -1 \] Уравнение \(\sin x = -1\) имеет решения: \[ x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Заключение: При \(a = 0\), решения уравнения \(\sin x = \frac{a+1}{a-1}\) существуют и равны: \[ x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: При \(a = 0\), \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\).