Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(tg2x-tg\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )=c-1\)

Ответ

NaN

Решение № 21645:

Для решения уравнения \( \operatorname{tg} 2x - \operatorname{tg} \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = c - 1 \), выполним следующие шаги:

1. Выразим \(\operatorname{tg} 2x\) через \(\operatorname{tg} x\) с помощью формулы двойного угла для тангенса: \[ \operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} \]
2. Выразим \(\operatorname{tg} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)\) через \(\operatorname{tg} x\) с помощью формулы тангенса разности: \[ \operatorname{tg} \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\operatorname{tg} x - 1}{1 + \operatorname{tg} x} \]
3. Подставим эти выражения в исходное уравнение: \[ \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} - \frac{\operatorname{tg} x - 1}{1 + \operatorname{tg} x} = c - 1 \]
4. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{2 \operatorname{tg} x (1 + \operatorname{tg} x) - (\operatorname{tg} x - 1)(1 - \operatorname{tg}^2 x)}{(1 - \operatorname{tg}^2 x)(1 + \operatorname{tg} x)} = c - 1 \]
5. Раскроем скобки в числителе: \[ 2 \operatorname{tg} x (1 + \operatorname{tg} x) = 2 \operatorname{tg} x + 2 \operatorname{tg}^2 x \] \[ (\operatorname{tg} x - 1)(1 - \operatorname{tg}^2 x) = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^3 x - 1 + \operatorname{tg}^2 x \]
6. Объединим выражения: \[ 2 \operatorname{tg} x + 2 \operatorname{tg}^2 x - (\operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^3 x - 1 + \operatorname{tg}^2 x) = 2 \operatorname{tg} x + 2 \operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}^3 x + 1 - \operatorname{tg}^2 x \] \[ = \operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg} x + 1 \]
7. Подставим обратно в уравнение: \[ \frac{\operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg} x + 1}{(1 - \operatorname{tg}^2 x)(1 + \operatorname{tg} x)} = c - 1 \]
8. Решим уравнение относительно \(\operatorname{tg} x\): \[ \operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg} x + 1 = (c - 1)(1 - \operatorname{tg}^2 x)(1 + \operatorname{tg} x) \]
9. Расширим правую часть: \[ (c - 1)(1 - \operatorname{tg}^2 x)(1 + \operatorname{tg} x) = (c - 1)(1 - \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^3 x) \]
10. Приравняем левую и правую части: \[ \operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg} x + 1 = (c - 1)(1 - \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^3 x) \]
11. Решим полученное уравнение относительно \(\operatorname{tg} x\). Это уравнение может быть сложным для решения аналитически, поэтому можно использовать численные или графические методы для нахождения \(\operatorname{tg} x\).

Ответ: Решение уравнения может потребовать численных методов для нахождения точных значений \(\operatorname{tg} x\).