Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos3x=acosx\)

Ответ

NaN

Решение № 21643:

Для решения уравнения \( \cos 3x = a \cos x \), пройдемся по следующим шагам:

1. Используем формулу тройного угла для косинуса: \[ \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \]
2. Подставляем эту формулу в исходное уравнение: \[ 4 \cos^3 x - 3 \cos x = a \cos x \]
3. Выносим \(\cos x\) за скобку: \[ \cos x (4 \cos^2 x - 3 - a) = 0 \]
4. Рассматриваем два случая:
   1. Первый случай: \(\cos x = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   2. Второй случай: \(4 \cos^2 x - 3 - a = 0\): \[ 4 \cos^2 x = 3 + a \] \[ \cos^2 x = \frac{3 + a}{4} \]
5. Решаем уравнение \(\cos^2 x = \frac{3 + a}{4}\): \[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{3 + a}{4}} \]
6. Рассматриваем два подслучая:
   1. Первый подслучай: \(\cos x = \sqrt{\frac{3 + a}{4}}\): \[ x = \pm \arccos \left( \sqrt{\frac{3 + a}{4}} \right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   2. Второй подслучай: \(\cos x = -\sqrt{\frac{3 + a}{4}}\): \[ x = \pm \arccos \left( -\sqrt{\frac{3 + a}{4}} \right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] или \[ x = \pm \arccos \left( \sqrt{\frac{3 + a}{4}} \right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] или \[ x = \pm \arccos \left( -\sqrt{\frac{3 + a}{4}} \right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]