Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin3x=asinx\)

Ответ

NaN

Решение № 21642:

Для решения уравнения \( \sin(3x) = a \sin(x) \), выполним следующие шаги: ```html

1. Используем формулу для синуса тройного угла: \[ \sin(3x) = 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) \] Подставляем эту формулу в уравнение: \[ 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) = a \sin(x) \]
2. Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) - a \sin(x) = 0 \]
3. Выносим \(\sin(x)\) за скобку: \[ \sin(x) (3 - 4 \sin^2(x) - a) = 0 \]
4. Рассматриваем два случая:
   • \(\sin(x) = 0\)
   • \(3 - 4 \sin^2(x) - a = 0\)
5. Решаем первый случай: \[ \sin(x) = 0 \implies x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
6. Решаем второй случай: \[ 3 - 4 \sin^2(x) - a = 0 \implies 4 \sin^2(x) = 3 - a \implies \sin^2(x) = \frac{3 - a}{4} \]
7. Для того чтобы \(\sin^2(x)\) было определено, \( \frac{3 - a}{4} \) должно быть неотрицательным: \[ \frac{3 - a}{4} \geq 0 \implies 3 - a \geq 0 \implies a \leq 3 \]
8. Теперь находим \(\sin(x)\): \[ \sin(x) = \pm \sqrt{\frac{3 - a}{4}} \]
9. Решаем уравнение для \(\sin(x)\): \[ x = \arcsin\left(\pm \sqrt{\frac{3 - a}{4}}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
10. Итоговые решения:
    • \(x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}\)
    • \(x = \arcsin\left(\pm \sqrt{\frac{3 - a}{4}}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\), при \(a \leq 3\)

```

Ответ: \( x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \) или \( x = \arcsin\left(\pm \sqrt{\frac{3 - a}{4}}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \), при \( a \leq 3 \)