Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos(2x-1)=a+5\)

Ответ

NaN

Решение № 21641:

Для решения уравнения \( \cos(2x - 1) = a + 5 \) выполним следующие шаги:

1. Определим возможные значения \(a\):

   Так как \( \cos(\theta) \) всегда находится в интервале \([-1, 1]\), то \( a + 5 \) должно также находиться в этом интервале:

   \[ -1 \leq a + 5 \leq 1 \]

   Решая эти неравенства, получаем:

   \[ -6 \leq a \leq -4 \]
2. Применим обратную функцию косинуса:

   Пусть \( \theta = 2x - 1 \). Тогда уравнение принимает вид:

   \[ \cos(\theta) = a + 5 \]

   Теперь нужно найти углы \( \theta \), для которых \( \cos(\theta) = a + 5 \).

3. Найдем углы \( \theta \):

   Для \( \cos(\theta) = a + 5 \) углы \( \theta \) можно записать как:

   \[ \theta = \pm \arccos(a + 5) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Подставим \( \theta = 2x - 1 \):

   Из \( \theta = 2x - 1 \) следует:

   \[ 2x - 1 = \pm \arccos(a + 5) + 2k\pi \]

   Решая это уравнение относительно \( x \), получаем:

   \[ x = \frac{1 \pm \arccos(a + 5) + 2k\pi + 1}{2} \]

   Упрощая, получаем:

   \[ x = \frac{\pm \arccos(a + 5) + 2k\pi + 2}{2} \]

   Или:

   \[ x = \frac{\pm \arccos(a + 5)}{2} + k\pi + 1 \]
5. Запишем окончательное решение:

   Таким образом, решение уравнения \( \cos(2x - 1) = a + 5 \) записывается как:

   \[ x = \frac{\pm \arccos(a + 5)}{2} + k\pi + 1, \quad k \in \mathbb{Z}, \quad -6 \leq a \leq -4 \]

Ответ: \( x = \frac{\pm \arccos(a + 5)}{2} + k\pi + 1, \quad k \in \mathbb{Z}, \quad -6 \leq a \leq -4 \)