Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sinx+cosx=a\)

Ответ

NaN

Решение № 21639:

Для решения уравнения \( \sin x + \cos x = a \) воспользуемся методом пошагового преобразования. 1. **Преобразуем левую часть уравнения:** Для начала заметим, что \( \sin x + \cos x \) можно представить в виде одного синуса или косинуса с помощью формулы суммы углов. \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \] Это можно проверить, используя формулу суммы синусов: \[ \sin x + \cos x = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \] 2. **Подставим это выражение в исходное уравнение:** \[ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = a \] 3. **Решим уравнение относительно синуса:** \[ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{a}{\sqrt{2}} \] 4. **Рассмотрим возможные значения \( \frac{a}{\sqrt{2}} \):** Так как синус функции находится в пределах \([-1, 1]\), то: \[ -1 \leq \frac{a}{\sqrt{2}} \leq 1 \] Это означает, что \( a \) должно удовлетворять условию: \[ -\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2} \] 5. **Решим уравнение для \( x \):** \[ x + \frac{\pi}{4} = \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + \frac{\pi}{4} = \pi - \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) + 2k\pi \] где \( k \) — целое число. 6. **Выразим \( x \):** \[ x = \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] 7. **Объединим решения:** \[ x = \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] где \( k \in \mathbb{Z} \). 8. **Условие на \( a \):** \[ -\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2} \] ### Заключение \[ \boxed{x = \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z}} \] \[ \text{при условии} \quad -\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2} \]