Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \((a^{2}-1)sinx=a+1\)

Ответ

NaN

Решение № 21637:

Для решения уравнения \((a^{2}-1)\sin x=a+1\), следуем пошаговым действиям: 1. **Проверка на существование решения:** - Уравнение имеет смысл только если \(a^{2}-1 \neq 0\). Это означает, что \(a \neq \pm 1\). 2. **Рассмотрим случай, когда \(a^{2}-1 = 0\):** - Если \(a^{2}-1 = 0\), то \(a = \pm 1\). - При \(a = 1\): \[ (1^{2}-1)\sin x = 1 + 1 \implies 0 \cdot \sin x = 2 \] Это уравнение не имеет решений, так как \(0 \cdot \sin x\) всегда равно нулю. - При \(a = -1\): \[ ((-1)^{2}-1)\sin x = -1 + 1 \implies 0 \cdot \sin x = 0 \] Это уравнение выполняется для любого значения \(x\), так как \(0 \cdot \sin x\) всегда равно нулю. 3. **Рассмотрим случай, когда \(a^{2}-1 \neq 0\):** - Тогда уравнение можно переписать как: \[ \sin x = \frac{a+1}{a^{2}-1} \] - Мы знаем, что \(\sin x\) должен быть в пределах \([-1, 1]\). Поэтому: \[ -1 \leq \frac{a+1}{a^{2}-1} \leq 1 \] 4. **Решение неравенства:** - Рассмотрим два случая: \[ \frac{a+1}{a^{2}-1} \leq 1 \implies a+1 \leq a^{2}-1 \implies a^{2} - a - 2 \geq 0 \implies (a-2)(a+1) \geq 0 \] - Это неравенство выполняется при \(a \leq -1\) или \(a \geq 2\). \[ \frac{a+1}{a^{2}-1} \geq -1 \implies a+1 \geq -a^{2}+1 \implies a^{2} + a \geq 0 \implies a(a+1) \geq 0 \] - Это неравенство выполняется при \(a \leq -1\) или \(a \geq 0\). 5. **Объединение решений:** - Объединяя оба неравенства, получаем: \[ a \leq -1 \quad \text{или} \quad a \geq 2 \] 6. **Решение уравнения:** - Для этих значений \(a\), уравнение \(\sin x = \frac{a+1}{a^{2}-1}\) имеет решения: \[ x = \arcsin \left( \frac{a+1}{a^{2}-1} \right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( \frac{a+1}{a^{2}-1} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Итоговое решение: 1. Если \(a = -1\), то \(x\) — любое число. 2. Если \(a \neq -1\) и \(a \leq -1\) или \(a \geq 2\), то: \[ x = \arcsin \left( \frac{a+1}{a^{2}-1} \right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( \frac{a+1}{a^{2}-1} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: 1. Если \(a = -1\), то \(x\) — любое число. 2. Если \(a \neq -1\) и \(a \leq -1\) или \(a \geq 2\), то \(x = \arcsin \left( \frac{a+1}{a^{2}-1} \right) + 2k\pi\) или \(x = \pi - \arcsin \left( \frac{a+1}{a^{2}-1} \right) + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).