Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения с параметрами,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(3cosx=4a+1\)

Ответ

NaN

Решение № 21636:

Конечно, давайте решим уравнение \(3\cos x = 4a + 1\) пошагово. 1. **Изолируем \(\cos x\):** \[ 3\cos x = 4a + 1 \] Делим обе стороны на 3: \[ \cos x = \frac{4a + 1}{3} \] 2. **Определим диапазон значений для \(a\):** Так как \(\cos x\) может принимать значения от \(-1\) до \(1\), то: \[ -1 \leq \frac{4a + 1}{3} \leq 1 \] 3. **Решим неравенство для \(a\):** \[ -1 \leq \frac{4a + 1}{3} \] Умножим обе стороны на 3: \[ -3 \leq 4a + 1 \] Вычтем 1 из обеих сторон: \[ -4 \leq 4a \] Разделим на 4: \[ -1 \leq a \] Теперь решим вторую часть неравенства: \[ \frac{4a + 1}{3} \leq 1 \] Умножим обе стороны на 3: \[ 4a + 1 \leq 3 \] Вычтем 1 из обеих сторон: \[ 4a \leq 2 \] Разделим на 4: \[ a \leq \frac{1}{2} \] Таким образом, \(a\) должно удовлетворять: \[ -1 \leq a \leq \frac{1}{2} \] 4. **Найдем \(x\):** Если \(a\) находится в этом диапазоне, то: \[ \cos x = \frac{4a + 1}{3} \] Используем обратную функцию косинуса: \[ x = \pm \arccos \left( \frac{4a + 1}{3} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Итоговое решение:

1. Изолируем \(\cos x\): \[ 3\cos x = 4a + 1 \implies \cos x = \frac{4a + 1}{3} \]
2. Определим диапазон значений для \(a\): \[ -1 \leq \frac{4a + 1}{3} \leq 1 \]
3. Решим неравенство для \(a\): \[ -1 \leq \frac{4a + 1}{3} \implies -3 \leq 4a + 1 \implies -4 \leq 4a \implies -1 \leq a \] \[ \frac{4a + 1}{3} \leq 1 \implies 4a + 1 \leq 3 \implies 4a \leq 2 \implies a \leq \frac{1}{2} \]
4. Найдем \(x\): \[ \cos x = \frac{4a + 1}{3} \implies x = \pm \arccos \left( \frac{4a + 1}{3} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pm \arccos \left( \frac{4a + 1}{3} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\), при условии, что \(-1 \leq a \leq \frac{1}{2}\)