Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos(\pi \sqrt{x})cos(\pi \sqrt{x-3})+1=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21593:

Для решения уравнения \( \cos(\pi \sqrt{x}) \cos(\pi \sqrt{x-3}) + 1 = 0 \) выполним следующие шаги: 1. **Перепишем уравнение:** \[ \cos(\pi \sqrt{x}) \cos(\pi \sqrt{x-3}) + 1 = 0 \] Это эквивалентно: \[ \cos(\pi \sqrt{x}) \cos(\pi \sqrt{x-3}) = -1 \] 2. **Используем свойства косинуса:** Косинус может быть равен \(-1\) только в том случае, если каждый из множителей равен \(\pm 1\). Однако, поскольку произведение двух чисел равно \(-1\), одно из них должно быть \(1\), а другое \(-1\). 3. **Рассмотрим случаи:** - Случай 1: \(\cos(\pi \sqrt{x}) = 1\) и \(\cos(\pi \sqrt{x-3}) = -1\) - Случай 2: \(\cos(\pi \sqrt{x}) = -1\) и \(\cos(\pi \sqrt{x-3}) = 1\) 4. **Решим первый случай:** - \(\cos(\pi \sqrt{x}) = 1\) \[ \pi \sqrt{x} = 2k\pi \quad \text{для некоторого целого } k \] \[ \sqrt{x} = 2k \] \[ x = 4k^2 \] - \(\cos(\pi \sqrt{x-3}) = -1\) \[ \pi \sqrt{x-3} = (2m+1)\pi \quad \text{для некоторого целого } m \] \[ \sqrt{x-3} = 2m+1 \] \[ x-3 = (2m+1)^2 \] 5. **Решим второй случай:** - \(\cos(\pi \sqrt{x}) = -1\) \[ \pi \sqrt{x} = (2k+1)\pi \quad \text{для некоторого целого } k \] \[ \sqrt{x} = 2k+1 \] \[ x = (2k+1)^2 \] - \(\cos(\pi \sqrt{x-3}) = 1\) \[ \pi \sqrt{x-3} = 2m\pi \quad \text{для некоторого целого } m \] \[ \sqrt{x-3} = 2m \] \[ x-3 = 4m^2 \] 6. **Найдем совместимые решения:** - Для первого случая: \[ 4k^2 - 3 = (2m+1)^2 \] \[ 4k^2 - 3 = 4m^2 + 4m + 1 \] \[ 4k^2 - 4m^2 - 4m - 4 = 0 \] \[ (k-m)(k+m) = 1 \] Это уравнение имеет решения только при \(k = m + 1\) или \(k = m - 1\). - Для второго случая: \[ (2k+1)^2 - 3 = 4m^2 \] \[ 4k^2 + 4k + 1 - 3 = 4m^2 \] \[ 4k^2 + 4k - 2 = 4m^2 \] \[ k^2 + k - m^2 = 0.5 \] Это уравнение не имеет целых решений, так как левая часть всегда целая. 7. **Заключение:** Решения для первого случая: \[ x = 4k^2 \quad \text{и} \quad x-3 = (2m+1)^2 \] \[ x = 4(m+1)^2 \quad \text{или} \quad x = 4(m-1)^2 \]

Ответ: \( x = 4(m+1)^2 \) или \( x = 4(m-1)^2 \) для целых \( m \)