Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{4}x+cos^{3}x=1\)

Ответ

NaN

Решение № 21592:

Для решения уравнения \( \sin^4 x + \cos^3 x = 1 \), выполним следующие шаги: 1. **Используем основное тригонометрическое тождество**: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Это тождество поможет нам упростить выражение. 2. **Выразим \(\sin^4 x\) через \(\sin^2 x\)**: \[ \sin^4 x = (\sin^2 x)^2 \] 3. **Подставим \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)**: \[ \sin^4 x = (1 - \cos^2 x)^2 \] 4. **Подставим это в исходное уравнение**: \[ (1 - \cos^2 x)^2 + \cos^3 x = 1 \] 5. **Раскроем скобки**: \[ (1 - \cos^2 x)^2 = 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x \] Таким образом, уравнение примет вид: \[ 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x + \cos^3 x = 1 \] 6. **Сократим единицы**: \[ -2\cos^2 x + \cos^4 x + \cos^3 x = 0 \] 7. **Перегруппируем уравнение**: \[ \cos^4 x + \cos^3 x - 2\cos^2 x = 0 \] 8. **Вынесем \(\cos^2 x\) за скобку**: \[ \cos^2 x (\cos^2 x + \cos x - 2) = 0 \] 9. **Рассмотрим два случая**: - \(\cos^2 x = 0\) - \(\cos^2 x + \cos x - 2 = 0\) 10. **Решим первый случай**: \[ \cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 11. **Решим второй случай**: \[ \cos^2 x + \cos x - 2 = 0 \] Это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Решим его с помощью квадратного уравнения: \[ t^2 + t - 2 = 0 \] Найдем корни: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Таким образом: \[ t = 1 \quad \text{или} \quad t = -2 \] 12. **Проверим корни**: - \(\cos x = 1\) - \(\cos x = -2\) (невозможно, так как косинус не может быть меньше -1) 13. **Решим \(\cos x = 1\)**: \[ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 14. **Запишем окончательное решение**: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \text{или} \quad x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \text{или} \quad x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]