Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{2}5x+sin^{2}3x=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21591:

Для решения уравнения \( \sin^2(5x) + \sin^2(3x) = 0 \) пошагово, выделим все пункты в HTML тэги.

1. Перепишем уравнение в виде: \(\sin^2(5x) + \sin^2(3x) = 0\)
2. Используем тождество \(\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\): \(\frac{1 - \cos(10x)}{2} + \frac{1 - \cos(6x)}{2} = 0\)
3. Умножим обе части уравнения на 2: \(1 - \cos(10x) + 1 - \cos(6x) = 0\)
4. Упростим уравнение: \(2 - \cos(10x) - \cos(6x) = 0\)
5. Используем формулу суммы косинусов: \(\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)\)
6. Подставим \(A = 10x\) и \(B = 6x\): \(2 - 2 \cos \left(\frac{10x + 6x}{2}\right) \cos \left(\frac{10x - 6x}{2}\right) = 0\)
7. Упростим: \(2 - 2 \cos(8x) \cos(2x) = 0\)
8. Разделим обе части уравнения на 2: \(1 - \cos(8x) \cos(2x) = 0\)
9. Перепишем уравнение: \(\cos(8x) \cos(2x) = 1\)
10. Применим тождество \(\cos(A) \cos(B) = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]\): \(\frac{1}{2} [\cos(10x) + \cos(6x)] = 1\)
11. Умножим обе части уравнения на 2: \(\cos(10x) + \cos(6x) = 2\)
12. Применим тождество \(\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)\): \(2 \cos(8x) \cos(2x) = 2\)
13. Разделим обе части уравнения на 2: \(\cos(8x) \cos(2x) = 1\)
14. Так как \(\cos(8x) \cos(2x) = 1\), это возможно только если \(\cos(8x) = 1\) и \(\cos(2x) = 1\)
15. Решим \(\cos(8x) = 1\): \(8x = 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
16. Решим \(\cos(2x) = 1\): \(2x = 2\pi m\), где \(m \in \mathbb{Z}\)
17. Решим систему уравнений: \(x = \frac{\pi k}{4}\) и \(x = \pi m\)
18. Так как \(x\) должно быть одинаковым в обоих уравнениях, \(k\) должно быть кратно 4. Пусть \(k = 4n\), где \(n \in \mathbb{Z}\): \(x = \pi n\)

Ответ: \(x = \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\)