Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(\left ( cos\frac{x}{4}-2sin2x \right )sin2x+\left ( 1-sin\frac{x}{4}-2cos2x \right )cos2x=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21590:

Для решения уравнения \(\left ( \cos\frac{x}{4} - 2\sin2x \right )\sin2x + \left ( 1 - \sin\frac{x}{4} - 2\cos2x \right )\cos2x = 0\), выполним следующие шаги:

1. Раскроем скобки и перегруппируем члены: \[ \left ( \cos\frac{x}{4} - 2\sin2x \right )\sin2x + \left ( 1 - \sin\frac{x}{4} - 2\cos2x \right )\cos2x = 0 \] \[ \cos\frac{x}{4}\sin2x - 2\sin^2 2x + \cos2x - \sin\frac{x}{4}\cos2x - 2\cos^2 2x = 0 \]
2. Выделим общие множители: \[ \cos\frac{x}{4}\sin2x - 2\sin^2 2x + \cos2x - \sin\frac{x}{4}\cos2x - 2\cos^2 2x = 0 \] \[ \cos2x(\cos\frac{x}{4} - \sin\frac{x}{4}) - 2(\sin^2 2x + \cos^2 2x) = 0 \]
3. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1\): \[ \cos2x(\cos\frac{x}{4} - \sin\frac{x}{4}) - 2 \cdot 1 = 0 \] \[ \cos2x(\cos\frac{x}{4} - \sin\frac{x}{4}) - 2 = 0 \]
4. Приравниваем выражение к нулю: \[ \cos2x(\cos\frac{x}{4} - \sin\frac{x}{4}) = 2 \]
5. Разделяем на два случая:
   • Случай 1: \(\cos2x = 0\)
   • Случай 2: \(\cos\frac{x}{4} - \sin\frac{x}{4} = 0\)
6. Решаем первый случай \(\cos2x = 0\): \[ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{4}(2n + 1), \quad n \in \mathbb{Z} \]
7. Решаем второй случай \(\cos\frac{x}{4} = \sin\frac{x}{4}\): \[ \cos\frac{x}{4} = \sin\frac{x}{4} \] \[ \frac{x}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4}(2n + 1), \quad n \in \mathbb{Z}\) или \(x = \pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\)