Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(\sqrt[4]{2sinx-1}+\sqrt[4]{3sinx-2}=2\)

Ответ

NaN

Решение № 21588:

Решим уравнение \(\sqrt[4]{2 \sin x - 1} + \sqrt[4]{3 \sin x - 2} = 2\) пошагово.

1. Введем новые переменные для упрощения записи: \[ u = \sqrt[4]{2 \sin x - 1}, \quad v = \sqrt[4]{3 \sin x - 2} \] Тогда уравнение принимает вид: \[ u + v = 2 \]
2. Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от корней: \[ (u + v)^4 = 2^4 = 16 \]
3. Развернем биномом Ньютона: \[ (u + v)^4 = u^4 + 4u^3v + 6u^2v^2 + 4uv^3 + v^4 \] Подставим значения \(u\) и \(v\): \[ (2 \sin x - 1) + 4 \sqrt[4]{(2 \sin x - 1)^3 (3 \sin x - 2)} + 6 \sqrt{(2 \sin x - 1)^2 (3 \sin x - 2)^2} + 4 \sqrt[4]{(2 \sin x - 1) (3 \sin x - 2)^3} + (3 \sin x - 2) = 16 \]
4. Упростим выражение: \[ 2 \sin x - 1 + 3 \sin x - 2 + 4 \sqrt[4]{(2 \sin x - 1)^3 (3 \sin x - 2)} + 6 \sqrt{(2 \sin x - 1)^2 (3 \sin x - 2)^2} + 4 \sqrt[4]{(2 \sin x - 1) (3 \sin x - 2)^3} = 16 \] \[ 5 \sin x - 3 + 4 \sqrt[4]{(2 \sin x - 1)^3 (3 \sin x - 2)} + 6 \sqrt{(2 \sin x - 1)^2 (3 \sin x - 2)^2} + 4 \sqrt[4]{(2 \sin x - 1) (3 \sin x - 2)^3} = 16 \]
5. Перенесем все слагаемые, кроме константы, в одну сторону: \[ 4 \sqrt[4]{(2 \sin x - 1)^3 (3 \sin x - 2)} + 6 \sqrt{(2 \sin x - 1)^2 (3 \sin x - 2)^2} + 4 \sqrt[4]{(2 \sin x - 1) (3 \sin x - 2)^3} = 16 - 5 \sin x + 3 \]
6. Упростим уравнение: \[ 4 \sqrt[4]{(2 \sin x - 1)^3 (3 \sin x - 2)} + 6 \sqrt{(2 \sin x - 1)^2 (3 \sin x - 2)^2} + 4 \sqrt[4]{(2 \sin x - 1) (3 \sin x - 2)^3} = 19 - 5 \sin x \]
7. Рассмотрим случай, когда \(\sin x = \frac{1}{2}\): \[ 2 \sin x - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0 \] \[ 3 \sin x - 2 = 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} \] Подставим эти значения в уравнение: \[ \sqrt[4]{0} + \sqrt[4]{-\frac{1}{2}} = 2 \] \[ 0 + \sqrt[4]{-\frac{1}{2}} = 2 \] Это уравнение не имеет решений, так как \(\sqrt[4]{-\frac{1}{2}}\) не определено.
8. Рассмотрим случай, когда \(\sin x = \frac{2}{3}\): \[ 2 \sin x - 1 = 2 \cdot \frac{2}{3} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \] \[ 3 \sin x - 2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0 \] Подставим эти значения в уравнение: \[ \sqrt[4]{\frac{1}{3}} + \sqrt[4]{0} = 2 \] \[ \sqrt[4]{\frac{1}{3}} + 0 = 2 \] Это уравнение также не имеет решений, так как \(\sqrt[4]{\frac{1}{3}} \neq 2\).

Ответ: Уравнение не имеет решений.