Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{2}8x-sin^{2}4x=-1\)

Ответ

NaN

Решение № 21587:

Решим уравнение \( \sin^2(8x) - \sin^2(4x) = -1 \) пошагово:

1. Используем формулу для разности квадратов синусов: \[ \sin^2(8x) - \sin^2(4x) = (\sin(8x) + \sin(4x))(\sin(8x) - \sin(4x)) \]
2. Применяем формулу суммы и разности синусов: \[ \sin(8x) - \sin(4x) = 2 \cos\left(\frac{8x + 4x}{2}\right) \sin\left(\frac{8x - 4x}{2}\right) = 2 \cos(6x) \sin(2x) \] \[ \sin(8x) + \sin(4x) = 2 \sin\left(\frac{8x + 4x}{2}\right) \cos\left(\frac{8x - 4x}{2}\right) = 2 \sin(6x) \cos(2x) \]
3. Подставляем выражения в уравнение: \[ (\sin(8x) + \sin(4x))(\sin(8x) - \sin(4x)) = (2 \sin(6x) \cos(2x))(2 \cos(6x) \sin(2x)) \] \[ = 4 \sin(6x) \cos(6x) \sin(2x) \cos(2x) \]
4. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin(12x) = 2 \sin(6x) \cos(6x) \] \[ \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) \] \[ = \sin(12x) \sin(4x) \]
5. Приравниваем к \(-1\): \[ \sin(12x) \sin(4x) = -1 \]
6. Рассматриваем возможные случаи:
   1. Если \(\sin(12x) = 1\) и \(\sin(4x) = -1\): \[ 12x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \] \[ 4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \] Решая эти уравнения, получаем: \[ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{6}k \] \[ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}m \] Эти решения не совместимы.
   2. Если \(\sin(12x) = -1\) и \(\sin(4x) = 1\): \[ 12x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \] \[ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m \] Решая эти уравнения, получаем: \[ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{6}k \] \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}m \] Эти решения не совместимы.
7. Заключаем, что уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет решений.