Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos^{4}3x-sin^{2}2x=1\)

Ответ

NaN

Решение № 21586:

Конечно, давайте решим уравнение \( \cos^4(3x) - \sin^2(2x) = 1 \) пошагово. ```html

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
   \(\cos^4(3x) - \sin^2(2x) = 1\)
2. Применим формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\).
   \(\sin^2(2x) = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x\)
3. Подставим \(\sin^2(2x)\) в уравнение:
   \(\cos^4(3x) - 4 \sin^2 x \cos^2 x = 1\)
4. Используем основное тригонометрическое тождество для \(\cos^4(3x)\):
   \(\cos^4(3x) = (\cos^2(3x))^2\)
5. Подставим \(\cos^2(3x) = 1 - \sin^2(3x)\):
   \((1 - \sin^2(3x))^2 - 4 \sin^2 x \cos^2 x = 1\)
6. Раскроем скобки:
   \(1 - 2 \sin^2(3x) + \sin^4(3x) - 4 \sin^2 x \cos^2 x = 1\)
7. Упростим уравнение:
   \(\sin^4(3x) - 2 \sin^2(3x) - 4 \sin^2 x \cos^2 x = 0\)
8. Рассмотрим возможные случаи:
   
   • \(\sin(3x) = 0\)
   • \(\sin(2x) = 0\)
9. Решим каждый случай отдельно:
   
   • Для \(\sin(3x) = 0\):
     \(3x = k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
     \(x = \frac{k\pi}{3}\)
   • Для \(\sin(2x) = 0\):
     \(2x = m\pi\), где \(m \in \mathbb{Z}\)
     \(x = \frac{m\pi}{2}\)

```

Ответ: Решения уравнения \( \cos^4(3x) - \sin^2(2x) = 1 \) это \( x = \frac{k\pi}{3} \) и \( x = \frac{m\pi}{2} \), где \( k \) и \( m \) — целые числа.