Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(sin^{2}5x+1=cos^{2}3x\)
Ответ
NaN
Решение № 21585:
Конечно, давайте решим уравнение \( \sin^2(5x) + 1 = \cos^2(3x) \) пошагово.
- Используем основное тригонометрическое тождество для косинуса:
\[
\cos^2(3x) = 1 - \sin^2(3x)
\]
Подставим это в уравнение:
\[
\sin^2(5x) + 1 = 1 - \sin^2(3x)
\]
- Сократим 1 в обеих частях уравнения:
\[
\sin^2(5x) = -\sin^2(3x)
\]
- Поскольку квадрат синуса всегда неотрицателен, единственное возможное решение — это когда оба синуса равны нулю:
\[
\sin^2(5x) = 0 \quad \text{и} \quad \sin^2(3x) = 0
\]
Следовательно:
\[
\sin(5x) = 0 \quad \text{и} \quad \sin(3x) = 0
\]
- Решим уравнение \(\sin(5x) = 0\):
\[
5x = n\pi \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z}
\]
Следовательно:
\[
x = \frac{n\pi}{5}
\]
- Решим уравнение \(\sin(3x) = 0\):
\[
3x = m\pi \quad \text{где} \quad m \in \mathbb{Z}
\]
Следовательно:
\[
x = \frac{m\pi}{3}
\]
- Для того чтобы уравнение \(\sin(5x) = 0\) и \(\sin(3x) = 0\) имели общие решения, \(x\) должно быть общим знаменателем:
\[
\frac{n\pi}{5} = \frac{m\pi}{3}
\]
Это возможно только если \(n\) и \(m\) такие, что:
\[
3n = 5m
\]
Наименьшее общее значение для \(n\) и \(m\) — это \(n = 5k\) и \(m = 3k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
- Подставим \(n = 5k\) и \(m = 3k\) в выражение для \(x\):
\[
x = \frac{5k\pi}{5} = k\pi
\]
Ответ: \( x = k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \)