Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin3x\cdot cos5x=1\)

Ответ

NaN

Решение № 21583:

Решим уравнение \( \sin(3x) \cdot \cos(5x) = 1 \) пошагово:

1. Рассмотрим уравнение \( \sin(3x) \cdot \cos(5x) = 1 \).
2. Заметим, что максимальное значение произведения синуса и косинуса равно 1, когда оба множителя равны 1 или -1. Однако, синус и косинус одновременно не могут быть равны 1 или -1, так как их значения варьируются от -1 до 1.
3. Рассмотрим случай, когда \( \sin(3x) = 1 \) и \( \cos(5x) = 1 \):
   • \( \sin(3x) = 1 \) при \( 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Тогда \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \).
   • \( \cos(5x) = 1 \) при \( 5x = 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \). Тогда \( x = \frac{2\pi m}{5} \).
4. Рассмотрим случай, когда \( \sin(3x) = -1 \) и \( \cos(5x) = -1 \):
   • \( \sin(3x) = -1 \) при \( 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Тогда \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \).
   • \( \cos(5x) = -1 \) при \( 5x = \pi + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \). Тогда \( x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5} \).
5. Рассмотрим случай, когда \( \sin(3x) = 1 \) и \( \cos(5x) = -1 \):
   • \( \sin(3x) = 1 \) при \( 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Тогда \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \).
   • \( \cos(5x) = -1 \) при \( 5x = \pi + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \). Тогда \( x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5} \).
6. Рассмотрим случай, когда \( \sin(3x) = -1 \) и \( \cos(5x) = 1 \):
   • \( \sin(3x) = -1 \) при \( 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Тогда \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \).
   • \( \cos(5x) = 1 \) при \( 5x = 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \). Тогда \( x = \frac{2\pi m}{5} \).
7. Проверим совместимость решений:
   • Для \( \sin(3x) = 1 \) и \( \cos(5x) = 1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \) и \( x = \frac{2\pi m}{5} \). Эти решения не совместимы, так как \( \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \neq \frac{2\pi m}{5} \) для всех \( k \) и \( m \).
   • Для \( \sin(3x) = -1 \) и \( \cos(5x) = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \) и \( x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5} \). Эти решения не совместимы, так как \( -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \neq \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5} \) для всех \( k \) и \( m \).
   • Для \( \sin(3x) = 1 \) и \( \cos(5x) = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \) и \( x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5} \). Эти решения не совместимы, так как \( \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \neq \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5} \) для всех \( k \) и \( m \).
   • Для \( \sin(3x) = -1 \) и \( \cos(5x) = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \) и \( x = \frac{2\pi m}{5} \). Эти решения не совместимы, так как \( -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \neq \frac{2\pi m}{5} \) для всех \( k \) и \( m \).
8. Таким образом, уравнение \( \sin(3x) \cdot \cos(5x) = 1 \) не имеет решений.

Ответ: Нет решений.