Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(cos3x+cos\frac{5x}{2}=2\)
Ответ
NaN
Решение № 21582:
Решим уравнение \( \cos 3x + \cos \frac{5x}{2} = 2 \) пошагово.
- Используем тождество для суммы косинусов:
\[
\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)
\]
Пусть \( A = 3x \) и \( B = \frac{5x}{2} \). Тогда:
\[
\cos 3x + \cos \frac{5x}{2} = 2 \cos \left( \frac{3x + \frac{5x}{2}}{2} \right) \cos \left( \frac{3x - \frac{5x}{2}}{2} \right)
\]
- Упростим выражения в скобках:
\[
\frac{3x + \frac{5x}{2}}{2} = \frac{6x + 5x}{4} = \frac{11x}{4}
\]
\[
\frac{3x - \frac{5x}{2}}{2} = \frac{6x - 5x}{4} = \frac{x}{4}
\]
Тогда:
\[
\cos 3x + \cos \frac{5x}{2} = 2 \cos \frac{11x}{4} \cos \frac{x}{4}
\]
- Подставим в исходное уравнение:
\[
2 \cos \frac{11x}{4} \cos \frac{x}{4} = 2
\]
Разделим обе части на 2:
\[
\cos \frac{11x}{4} \cos \frac{x}{4} = 1
\]
- Так как произведение косинусов равно 1, каждый из них должен быть равен ±1. Рассмотрим случаи:
- \( \cos \frac{11x}{4} = 1 \) и \( \cos \frac{x}{4} = 1 \)
- \( \cos \frac{11x}{4} = -1 \) и \( \cos \frac{x}{4} = -1 \)
- Решим уравнения:
- \( \cos \frac{11x}{4} = 1 \)
\[
\frac{11x}{4} = 2k\pi \quad \text{для некоторого целого} \ k
\]
\[
x = \frac{8k\pi}{11}
\]
- \( \cos \frac{x}{4} = 1 \)
\[
\frac{x}{4} = 2n\pi \quad \text{для некоторого целого} \ n
\]
\[
x = 8n\pi
\]
- Теперь рассмотрим случаи:
- \( \cos \frac{11x}{4} = -1 \)
\[
\frac{11x}{4} = (2k+1)\pi \quad \text{для некоторого целого} \ k
\]
\[
x = \frac{4(2k+1)\pi}{11}
\]
- \( \cos \frac{x}{4} = -1 \)
\[
\frac{x}{4} = (2n+1)\pi \quad \text{для некоторого целого} \ n
\]
\[
x = 4(2n+1)\pi
\]
- Таким образом, решения уравнения:
\[
x = \frac{8k\pi}{11} \quad \text{и} \quad x = 8n\pi
\]
\[
x = \frac{4(2k+1)\pi}{11} \quad \text{и} \quad x = 4(2n+1)\pi
\]
где \( k \) и \( n \) — целые числа.
Ответ: \( x = \frac{8k\pi}{11} \), \( x = 8n\pi \), \( x = \frac{4(2k+1)\pi}{11} \), \( x = 4(2n+1)\pi \), где \( k \) и \( n \) — целые числа.