Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(1+sin2x=\frac{2}{cosx}\)

Ответ

NaN

Решение № 21581:

1. **Упростим уравнение:** \[ 1 + \sin 2x = \frac{2}{\cos x} \] 2. **Используем формулу двойного угла для синуса:** \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Подставляем её в уравнение: \[ 1 + 2 \sin x \cos x = \frac{2}{\cos x} \] 3. **Перемножим обе части уравнения на \(\cos x\):** \[ \cos x + 2 \sin x \cos^2 x = 2 \] 4. **Основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) используем для замены \(\cos^2 x\):** \[ \cos x + 2 \sin x (1 - \sin^2 x) = 2 \] 5. **Раскрываем скобки:** \[ \cos x + 2 \sin x - 2 \sin^3 x = 2 \] 6. **Выражаем \(\cos x\) через \(\sin x\) и \(\cos^2 x\):** \[ \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \] Подставляем это в уравнение: \[ \sqrt{1 - \sin^2 x} + 2 \sin x - 2 \sin^3 x = 2 \] 7. **Перемещаем все члены на одну сторону уравнения:** \[ \sqrt{1 - \sin^2 x} + 2 \sin x - 2 \sin^3 x - 2 = 0 \] 8. **Вводим новую переменную \(y = \sin x\):** \[ \sqrt{1 - y^2} + 2y - 2y^3 - 2 = 0 \] 9. **Решаем уравнение относительно \(y\):** \[ \sqrt{1 - y^2} = 2 - 2y + 2y^3 \] 10. **Квадратируем обе части уравнения:** \[ 1 - y^2 = (2 - 2y + 2y^3)^2 \] 11. **Раскрываем скобки и упрощаем:** \[ 1 - y^2 = 4 - 8y + 8y^2 - 8y^3 + 4y^4 \] 12. **Переносим все члены на одну сторону:** \[ 4y^4 - 8y^3 + 9y^2 - 8y + 3 = 0 \] 13. **Решаем полином четвёртой степени:** \[ y = \sin x \] Находим корни уравнения (это может потребовать численных методов или графического анализа). 14. **Подставляем найденные значения \(y\) обратно в \(x = \sin^{-1}(y)\):** \[ x = \sin^{-1}(y) \] 15. **Проверяем найденные решения на удовлетворение исходному уравнению:** \[ 1 + \sin 2x = \frac{2}{\cos x} \] 16. **Общий ответ:** \[ x = \sin^{-1}(y) \] где \(y\) — корни уравнения \(4y^4 - 8y^3 + 9y^2 - 8y + 3 = 0\).

Ответ: \(x = \sin^{-1}(y)\), где \(y\) — корни уравнения \(4y^4 - 8y^3 + 9y^2 - 8y + 3 = 0\)