Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(1+cos4x=\frac{2}{sinx}\)
Ответ
NaN
Решение № 21580:
Решим уравнение \(1 + \cos 4x = \frac{2}{\sin x}\) пошагово.
- Умножим обе части уравнения на \(\sin x\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[
\sin x (1 + \cos 4x) = 2
\]
- Раскроем скобки:
\[
\sin x + \sin x \cos 4x = 2
\]
- Используем формулу для произведения синуса и косинуса:
\[
\sin x \cos 4x = \frac{1}{2} (\sin (5x) + \sin (3x))
\]
Тогда уравнение примет вид:
\[
\sin x + \frac{1}{2} (\sin (5x) + \sin (3x)) = 2
\]
- Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[
2 \sin x + \sin (5x) + \sin (3x) = 4
\]
- Вынесем общий множитель \(\sin x\):
\[
\sin x (2 + \cos 4x) = 2
\]
- Рассмотрим два случая:
- Если \(\sin x = 0\), то \(x = k\pi\), где \(k\) — целое число. Но при этом \(\sin x = 0\) и \(\frac{2}{\sin x}\) не определено, поэтому этот случай не подходит.
- Если \(\sin x \neq 0\), то делим обе части уравнения на \(\sin x\):
\[
2 + \cos 4x = \frac{2}{\sin x}
\]
- Умножим обе части уравнения на \(\sin x\) снова:
\[
2 \sin x + \sin x \cos 4x = 2
\]
- Используем формулу для произведения синуса и косинуса:
\[
\sin x \cos 4x = \frac{1}{2} (\sin (5x) + \sin (3x))
\]
Тогда уравнение примет вид:
\[
2 \sin x + \frac{1}{2} (\sin (5x) + \sin (3x)) = 2
\]
- Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[
4 \sin x + \sin (5x) + \sin (3x) = 4
\]
- Рассмотрим два случая:
- Если \(\sin x = 0\), то \(x = k\pi\), где \(k\) — целое число. Но при этом \(\sin x = 0\) и \(\frac{2}{\sin x}\) не определено, поэтому этот случай не подходит.
- Если \(\sin x \neq 0\), то делим обе части уравнения на \(\sin x\):
\[
2 + \cos 4x = \frac{2}{\sin x}
\]
Ответ: Уравнение не имеет решений.