Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(\sqrt{2}(sinx+cosx)=tg2x+ctg2x\)

Ответ

NaN

Решение № 21579:

Решим уравнение \(\sqrt{2}(\sin x + \cos x) = \operatorname{tg} 2x + \operatorname{ctg} 2x\) пошагово.

1. Начнем с переписывания правой части уравнения: \(\operatorname{tg} 2x + \operatorname{ctg} 2x\).
2. Используем определения тангенса и котангенса: \(\operatorname{tg} 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}\) и \(\operatorname{ctg} 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x}\).
3. Подставляем эти выражения в уравнение: \(\frac{\sin 2x}{\cos 2x} + \frac{\cos 2x}{\sin 2x}\).
4. Приводим оба дроби к общему знаменателю: \(\frac{\sin^2 2x + \cos^2 2x}{\sin 2x \cos 2x}\).
5. Используем тригонометрическое тождество \(\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1\): \(\frac{1}{\sin 2x \cos 2x}\).
6. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\).
7. Подставляем это в уравнение: \(\frac{1}{2 \sin x \cos x}\).
8. Приравниваем левую и правую части уравнения: \(\sqrt{2}(\sin x + \cos x) = \frac{1}{2 \sin x \cos x}\).
9. Умножаем обе части уравнения на \(2 \sin x \cos x\): \(2 \sqrt{2} \sin x \cos x (\sin x + \cos x) = 1\).
10. Используем формулу для суммы синуса и косинуса: \(\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)\).
11. Подставляем это в уравнение: \(2 \sqrt{2} \sin x \cos x \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1\).
12. Упрощаем выражение: \(4 \sin x \cos x \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1\).
13. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\).
14. Подставляем это в уравнение: \(2 \sin 2x \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1\).
15. Используем формулу для произведения синусов: \(\sin 2x \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \left[\cos \left(2x - \left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) - \cos \left(2x + \left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)\right]\).
16. Упрощаем выражение: \(\frac{1}{2} \left[\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - \cos \left(3x + \frac{\pi}{4}\right)\right] = \frac{1}{4}\).
17. Умножаем обе части уравнения на 2: \(\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - \cos \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\).
18. Решаем это уравнение относительно \(x\).

Ответ: Уравнение имеет бесконечное множество решений.