Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(2(1-sinx-cosx)+tgx+ctgx=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21577:

Решим уравнение \(2(1-\sin x - \cos x) + \tan x + \cot x = 0\) пошагово.

1. Раскроем скобки и вынесем общий множитель: \[ 2(1 - \sin x - \cos x) + \tan x + \cot x = 0 \] Преобразуем: \[ 2 - 2\sin x - 2\cos x + \tan x + \cot x = 0 \]
2. Заменим \(\tan x\) и \(\cot x\) их тригонометрическими выражениями: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Подставим: \[ 2 - 2\sin x - 2\cos x + \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 0 \]
3. Найдём общее знаменатель для дробей: \[ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} \] Подставим: \[ 2 - 2\sin x - 2\cos x + \frac{1}{\sin x \cos x} = 0 \]
4. Умножим всё уравнение на \(\sin x \cos x\) (чтобы избавиться от знаменателя): \[ 2\sin x \cos x - 2\sin^2 x \cos x - 2\cos^2 x \sin x + 1 = 0 \]
5. Перепишем уравнение: \[ 2\sin x \cos x - 2\sin x \cos x (\sin x + \cos x) + 1 = 0 \]
6. Вынесем общий множитель \(2\sin x \cos x\): \[ 2\sin x \cos x (1 - \sin x - \cos x) + 1 = 0 \]
7. Перепишем уравнение: \[ 2\sin x \cos x (1 - \sin x - \cos x) = -1 \]
8. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ 1 - \sin x - \cos x = 0 \implies \sin x + \cos x = 1 \]
9. Решим уравнение \(\sin x + \cos x = 1\): \[ \sin x + \cos x = 1 \] Возведём обе части в квадрат: \[ (\sin x + \cos x)^2 = 1^2 \] \[ \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 \] Используем \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ 1 + 2\sin x \cos x = 1 \] \[ 2\sin x \cos x = 0 \] \[ \sin x \cos x = 0 \]
10. Решим \(\sin x \cos x = 0\): \[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = 0 \] \[ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\)