Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(2sin^{2}x+sinx+\frac{1}{sinx}+\frac{2}{sin^{2}x}=6\)
Ответ
NaN
Решение № 21576:
Для решения уравнения \(2 \sin^2 x + \sin x + \frac{1}{\sin x} + \frac{2}{\sin^2 x} = 6\), выполним следующие шаги:
- Перепишем уравнение в более удобной форме. Для этого сгруппируем члены:
\[2 \sin^2 x + \sin x + \frac{1}{\sin x} + \frac{2}{\sin^2 x} = 6\]
- Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение принимает вид:
\[2 y^2 + y + \frac{1}{y} + \frac{2}{y^2} = 6\]
- Умножим все члены уравнения на \( y^2 \), чтобы избавиться от знаменателей:
\[2 y^4 + y^3 + y + 2 = 6 y^2\]
- Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[2 y^4 + y^3 + y + 2 - 6 y^2 = 0\]
- Упростим уравнение:
\[2 y^4 + y^3 - 6 y^2 + y + 2 = 0\]
- Попробуем найти решения уравнения. Для этого заметим, что \( y = 1 \) и \( y = -1 \) могут быть решениями, так как они являются корнями многочлена. Проверим это:
- Для \( y = 1 \):
\[2(1)^4 + (1)^3 - 6(1)^2 + 1 + 2 = 2 + 1 - 6 + 1 + 2 = 0\]
- Для \( y = -1 \):
\[2(-1)^4 + (-1)^3 - 6(-1)^2 + (-1) + 2 = 2 - 1 - 6 - 1 + 2 = -4\]
- Таким образом, \( y = 1 \) является решением уравнения. Для \( y = -1 \) уравнение не выполняется.
- Теперь вернемся к переменной \( x \). Если \( y = \sin x = 1 \), то:
\[x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]
Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)