Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(7+sin2x=7sinx+7cosx\)

Ответ

NaN

Решение № 21575:

1. Перенесём все члены на одну сторону уравнения: \[ 7 + \sin(2x) - 7\sin(x) - 7\cos(x) = 0 \]
2. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \] Подставляем её в уравнение: \[ 7 + 2\sin(x)\cos(x) - 7\sin(x) - 7\cos(x) = 0 \]
3. Вынесем \(\sin(x)\cos(x)\) за скобки: \[ 7 + 2\sin(x)\cos(x) - 7(\sin(x) + \cos(x)) = 0 \]
4. Введём новую переменную \(t = \sin(x) + \cos(x)\). Тогда: \[ \sin(x)\cos(x) = \frac{t^2 - 1}{2} \] Подставляем это в уравнение: \[ 7 + 2 \left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) - 7t = 0 \] Упрощаем: \[ 7 + t^2 - 1 - 7t = 0 \] \[ t^2 - 7t + 6 = 0 \]
5. Решаем квадратное уравнение: \[ t^2 - 7t + 6 = 0 \] Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} \] \[ t = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ t = \frac{7 \pm 5}{2} \] Получаем два корня: \[ t_1 = \frac{12}{2} = 6 \] \[ t_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
6. Рассмотрим случай \(t = 6\): \[ \sin(x) + \cos(x) = 6 \] Это невозможно, так как максимальное значение \(\sin(x) + \cos(x)\) равно \(\sqrt{2}\).
7. Рассмотрим случай \(t = 1\): \[ \sin(x) + \cos(x) = 1 \] Подставляем \(\sin(x) = 1 - \cos(x)\) в уравнение: \[ (1 - \cos(x))^2 + \cos^2(x) = 1 \] Упрощаем: \[ 1 - 2\cos(x) + \cos^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] \[ 2\cos^2(x) - 2\cos(x) = 0 \] \[ 2\cos(x)(\cos(x) - 1) = 0 \] Получаем два решения: \[ \cos(x) = 0 \quad \text{или} \quad \cos(x) = 1 \] \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \text{или} \quad x = 2\pi n \] где \(k\) и \(n\) — целые числа.
8. Рассмотрим случай \(\cos(x) = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \]
9. Рассмотрим случай \(\cos(x) = 1\): \[ x = 2\pi n \]

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\) или \(x = 2\pi n\), где \(k\) и \(n\) — целые числа.