Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{3}x+cos^{3}x=\frac{sin2x-2}{2}\)

Ответ

NaN

Решение № 21573:

Для решения уравнения \( \sin^{3}x + \cos^{3}x = \frac{\sin 2x - 2}{2} \), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу суммы кубов: \[ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) \]
2. Применяем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) \]
3. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Тогда: \[ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)\left(1 - \frac{\sin 2x}{2}\right) \]
4. Подставляем это выражение в исходное уравнение: \[ (\sin x + \cos x)\left(1 - \frac{\sin 2x}{2}\right) = \frac{\sin 2x - 2}{2} \]
5. Умножаем обе части уравнения на 2: \[ 2(\sin x + \cos x)\left(1 - \frac{\sin 2x}{2}\right) = \sin 2x - 2 \]
6. Раскрываем скобки: \[ 2(\sin x + \cos x) - (\sin x + \cos x) \sin 2x = \sin 2x - 2 \]
7. Перемещаем все члены в одну сторону уравнения: \[ 2(\sin x + \cos x) - (\sin x + \cos x) \sin 2x - \sin 2x + 2 = 0 \]
8. Группируем члены: \[ 2(\sin x + \cos x) - \sin 2x(1 + \sin x + \cos x) + 2 = 0 \]
9. Упрощаем уравнение: \[ 2(\sin x + \cos x) - \sin 2x - \sin 2x \sin x - \sin 2x \cos x + 2 = 0 \]
10. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \]
11. Подставляем \(\cos 2x\) и упрощаем: \[ 2(\sin x + \cos x) - \sin 2x - \sin 2x (\sin x + \cos x) + 2 = 0 \]
12. Группируем члены: \[ 2(\sin x + \cos x) - \sin 2x - \sin 2x (\sin x + \cos x) + 2 = 0 \]
13. Упрощаем уравнение: \[ (1 - \cos 2x)(2 + \sin 2x) = 0 \]
14. Рассматриваем два случая: \[ 1 - \cos 2x = 0 \quad \text{или} \quad 2 + \sin 2x = 0 \]
15. Решаем первый случай: \[ 1 - \cos 2x = 0 \implies \cos 2x = 1 \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
16. Решаем второй случай: \[ 2 + \sin 2x = 0 \implies \sin 2x = -2 \] Это невозможно, так как синус не может принимать значение меньше -1.

Ответ: \( x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)