Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cosx+sinx=\frac{cos2x}{1-sin2x}\)

Ответ

NaN

Решение № 21572:

Решим уравнение \( \cos x + \sin x = \frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} \) пошагово. 1. Используем формулу двойного угла для косинуса и синуса: \[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \] \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] 2. Подставляем эти выражения в правую часть уравнения: \[ \cos x + \sin x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{1 - 2 \sin x \cos x} \] 3. Умножаем обе части уравнения на знаменатель правой части: \[ (\cos x + \sin x)(1 - 2 \sin x \cos x) = \cos^2 x - \sin^2 x \] 4. Раскрываем скобки: \[ \cos x + \sin x - 2 \sin x \cos^2 x - 2 \sin^2 x \cos x = \cos^2 x - \sin^2 x \] 5. Упрощаем выражение, объединяя подобные члены: \[ \cos x + \sin x - 2 \sin x \cos^2 x - 2 \sin^2 x \cos x = \cos^2 x - \sin^2 x \] 6. Группируем члены: \[ \cos x + \sin x - 2 \sin x \cos x (\cos x + \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x \] 7. Выносим за скобки общий множитель \( \cos x + \sin x \): \[ (\cos x + \sin x)(1 - 2 \sin x \cos x) = \cos^2 x - \sin^2 x \] 8. Рассматриваем два случая: - \( \cos x + \sin x = 0 \) - \( 1 - 2 \sin x \cos x = \cos^2 x - \sin^2 x \) 9. Решаем первый случай: \[ \cos x + \sin x = 0 \implies \sin x = -\cos x \implies \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 10. Решаем второй случай: \[ 1 - 2 \sin x \cos x = \cos^2 x - \sin^2 x \] \[ 1 - \sin 2x = \cos 2x \] \[ \cos 2x + \sin 2x = 1 \] 11. Решаем уравнение \( \cos 2x + \sin 2x = 1 \): \[ \cos 2x + \sin 2x = 1 \implies \cos 2x = 1 - \sin 2x \] 12. Используем формулу для суммы синуса и косинуса: \[ \cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \] \[ \sqrt{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \] \[ \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] 13. Объединяем решения: \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)