Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{3}x-cos^{3}x=1+sinxcosx\)

Ответ

NaN

Решение № 21571:

Для решения уравнения \( \sin^3 x - \cos^3 x = 1 + \sin x \cos x \) выполним следующие шаги: 1. **Используем формулу разности кубов:** \[ \sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x) \] 2. **Применяем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):** \[ \sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) \] 3. **Подставляем это выражение в исходное уравнение:** \[ (\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) = 1 + \sin x \cos x \] 4. **Рассматриваем два случая:** - **Случай 1: \( \sin x - \cos x = 0 \)** \[ \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] - **Случай 2: \( 1 + \sin x \cos x = 0 \)** \[ \sin x \cos x = -1 \] Умножим обе стороны на 2: \[ 2 \sin x \cos x = -2 \implies \sin 2x = -1 \] Найдём углы, при которых \(\sin 2x = -1\): \[ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] 5. **Проверяем решения:** - Для \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \): \[ \sin x = \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \sin^3 x - \cos^3 x = 0 \neq 1 + \sin x \cos x \] Это решение не подходит. - Для \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \): \[ \sin 2x = -1 \implies \sin x \cos x = -\frac{1}{2} \implies \sin^3 x - \cos^3 x = 1 + \sin x \cos x \] Это решение подходит. ### Ответ: \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]