Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(1-sin2x=cosx-sinx\)
Ответ
NaN
Решение № 21570:
Конечно! Давайте решим уравнение \(1 - \sin 2x = \cos x - \sin x\) пошагово.
```html
- Используем формулу двойного угла для синуса:
\(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\). Тогда уравнение преобразуется к виду:
\(1 - 2 \sin x \cos x = \cos x - \sin x\)
- Переносим все члены в одну сторону уравнения:
\(1 - 2 \sin x \cos x - \cos x + \sin x = 0\)
- Группируем члены уравнения:
\(1 - \cos x(2 \sin x + 1) + \sin x = 0\)
- Выделяем общее выражение для упрощения:
\(1 - \cos x - 2 \sin x \cos x + \sin x = 0\)
- Перегруппируем члены:
\(1 - \cos x(1 + 2 \sin x) + \sin x = 0\)
- Рассматриваем два случая:
- Случай 1: \(\cos x = 0\)
- Из \(\cos x = 0\) следует, что \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
- Случай 2: \(\sin x + \cos x = 1\)
- Используем формулу суммы синусов: \(\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)\)
- Тогда \(\sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1\)
- \(\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\) или \(x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\)
- Тогда \(x = 2\pi n\) или \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\)
- Объединяем решения:
\(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\) или \(x = 2\pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\)
Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\) или \(x = 2\pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\)
```
Таким образом, решение уравнения \(1 - \sin 2x = \cos x - \sin x\) заключается в том, что \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\) или \(x = 2\pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\).