Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sinx+cosx+sinxcosx=1\)

Ответ

NaN

Решение № 21569:

Решим уравнение \( \sin x + \cos x + \sin x \cos x = 1 \) пошагово:

1. Введем новую переменную \( t \), такую что \( t = \sin x + \cos x \). Тогда уравнение принимает вид: \[ t + \sin x \cos x = 1 \]
2. Используем формулу для произведения синуса и косинуса: \[ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \] Подставим это в уравнение: \[ t + \frac{1}{2} \sin 2x = 1 \]
3. Заметим, что \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), поэтому: \[ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cos x = \frac{1}{2} t^2 \] Тогда уравнение становится: \[ t + \frac{1}{2} t^2 = 1 \]
4. Решим квадратное уравнение: \[ \frac{1}{2} t^2 + t - 1 = 0 \] Умножим все члены на 2: \[ t^2 + 2t - 2 = 0 \]
5. Используем формулу для решения квадратных уравнений \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -2 \): \[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} \]
6. Таким образом, \( t = -1 + \sqrt{3} \) или \( t = -1 - \sqrt{3} \).
7. Рассмотрим случай \( t = -1 + \sqrt{3} \): \[ \sin x + \cos x = -1 + \sqrt{3} \] Используем формулу для суммы синуса и косинуса: \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \] Тогда: \[ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -1 + \sqrt{3} \]
8. Рассмотрим случай \( t = -1 - \sqrt{3} \): \[ \sin x + \cos x = -1 - \sqrt{3} \] Используем формулу для суммы синуса и косинуса: \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \] Тогда: \[ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -1 - \sqrt{3} \]
9. Решим эти уравнения: \[ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{-1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] \[ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{-1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
10. Решим уравнения для синуса: \[ x + \frac{\pi}{4} = \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right) + 2k\pi \] \[ x + \frac{\pi}{4} = \arcsin \left( \frac{-1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right) + 2k\pi \]
11. Вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих частей: \[ x = \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ x = \arcsin \left( \frac{-1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Ответ: \[ x = \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ x = \arcsin \left( \frac{-1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]