Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(5(sinx+cosx)+sin3x-cos3x=2\sqrt{2}(2+sin2x)\)

Ответ

NaN

Решение № 21568:

Конечно, давайте решим уравнение \(5(\sin x + \cos x) + \sin 3x - \cos 3x = 2\sqrt{2}(2 + \sin 2x)\) пошагово.

1. Начнем с упрощения левой части уравнения. Используем тригонометрические тождества: \[ \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \] \[ \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \]
2. Подставим эти тождества в уравнение: \[ 5(\sin x + \cos x) + (3 \sin x - 4 \sin^3 x) - (4 \cos^3 x - 3 \cos x) = 2\sqrt{2}(2 + \sin 2x) \]
3. Упростим выражение: \[ 5(\sin x + \cos x) + 3 \sin x - 4 \sin^3 x - 4 \cos^3 x + 3 \cos x = 2\sqrt{2}(2 + \sin 2x) \]
4. Объединим подобные члены: \[ 8 \sin x + 8 \cos x - 4 \sin^3 x - 4 \cos^3 x = 2\sqrt{2}(2 + \sin 2x) \]
5. Разделим обе части уравнения на 4: \[ 2 \sin x + 2 \cos x - \sin^3 x - \cos^3 x = \sqrt{2}(1 + \sin 2x) \]
6. Используем тождество для кубических синусов и косинусов: \[ \sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x) \] \[ \cos^3 x = \cos x (1 - \sin^2 x) \]
7. Подставим эти тождества: \[ 2 \sin x + 2 \cos x - \sin x (1 - \cos^2 x) - \cos x (1 - \sin^2 x) = \sqrt{2}(1 + \sin 2x) \]
8. Упростим выражение: \[ 2 \sin x + 2 \cos x - \sin x + \sin x \cos^2 x - \cos x + \sin^2 x \cos x = \sqrt{2}(1 + \sin 2x) \]
9. Объединим подобные члены: \[ \sin x + \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x = \sqrt{2}(1 + \sin 2x) \]
10. Используем тождество для двойного угла: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]
11. Подставим это тождество: \[ \sin x + \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x = \sqrt{2}(1 + 2 \sin x \cos x) \]
12. Упростим выражение: \[ \sin x + \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x = \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \sin x \cos x \]
13. Рассмотрим возможные решения для \(\sin x\) и \(\cos x\). Для упрощения, заметим, что если \(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\), то: \[ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \]
14. Подставим эти значения: \[ \sqrt{2} + \frac{1}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} \]
15. Решим уравнение: \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \]
16. Решим уравнение для \(\sin x\) и \(\cos x\): \[ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
17. Найдем \(x\): \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)