Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sinx+cosx-2sinxcosx=1\)

Ответ

NaN

Решение № 21567:

Решение уравнения \( \sin x + \cos x - 2 \sin x \cos x = 1 \):

1. Перепишем уравнение: \[ \sin x + \cos x - 2 \sin x \cos x = 1 \]
2. Перенесем все члены, зависящие от \(\sin x\) и \(\cos x\), на одну сторону: \[ \sin x + \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x \]
3. Введем замену \( t = \sin x + \cos x \). Заметим, что: \[ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x \] Тогда уравнение перепишется как: \[ t = 1 + \frac{t^2 - 1}{2} \]
4. Упростим уравнение: \[ 2t = 2 + t^2 - 1 \] \[ 2t = 1 + t^2 \] \[ t^2 - 2t + 1 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение: \[ (t - 1)^2 = 0 \] \[ t = 1 \]
6. Теперь вернемся к исходной замене \( t = \sin x + \cos x \): \[ \sin x + \cos x = 1 \]
7. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (\sin x + \cos x)^2 = 1^2 \] \[ \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 \] \[ 1 + 2 \sin x \cos x = 1 \] \[ 2 \sin x \cos x = 0 \] \[ \sin x \cos x = 0 \]
8. Рассмотрим два случая:
   1. \(\sin x = 0\): \[ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
   2. \(\cos x = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
9. Проверим эти решения на соответствие исходному уравнению:
   1. Для \( x = \pi n \): \[ \sin (\pi n) + \cos (\pi n) - 2 \sin (\pi n) \cos (\pi n) = 0 + (-1)^n - 0 = (-1)^n \] Это решение удовлетворяет уравнению только если \( n \) четное.
   2. Для \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \): \[ \sin \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) + \cos \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) - 2 \sin \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = (-1)^n + 0 - 0 = (-1)^n \] Это решение удовлетворяет уравнению только если \( n \) четное.
10. Таким образом, решениями уравнения являются: \[ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)