Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sinx+cosx-2\sqrt{2}sinxcosx=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21566:

Решение уравнения \( \sin x + \cos x - 2\sqrt{2} \sin x \cos x = 0 \) пошагово:

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ \sin x + \cos x = 2\sqrt{2} \sin x \cos x \]
2. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Тогда уравнение принимает вид: \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin 2x \]
3. Перепишем левую часть уравнения в виде, использующем тригонометрическую идентичность: \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} \right) \] Это сводится к: \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \]
4. Теперь уравнение выглядит так: \[ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin 2x \]
5. Рассмотрим два случая для решения уравнения:
   1. Случай 1: \( \sin 2x = 0 \) \[ 2x = k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{k\pi}{2} \]
   2. Случай 2: \( \sin 2x = \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \) Используем формулу для решения уравнений с синусами: \[ 2x = x + \frac{\pi}{4} + 2l\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + 2l\pi \quad \text{где} \quad l \in \mathbb{Z} \] Первый случай: \[ 2x = x + \frac{\pi}{4} + 2l\pi \] \[ x = \frac{\pi}{4} + 2l\pi \] Второй случай: \[ 2x = \pi - \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + 2l\pi \] \[ 2x = \pi - x - \frac{\pi}{4} + 2l\pi \] \[ 3x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2l\pi \] \[ x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + \frac{2l\pi}{3} \] \[ x = \frac{4\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \frac{2l\pi}{3} \] \[ x = \frac{3\pi}{12} + \frac{2l\pi}{3} \] \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2l\pi}{3} \]
6. Итоговое решение: \[ x = \frac{k\pi}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + 2l\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{2l\pi}{3} \]

Ответ: \( x = \frac{k\pi}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + 2l\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{2l\pi}{3} \) где \( k \) и \( l \) - целые числа.