Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos^{3}x+sin^{3}x-sin2x-1=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21564:

Для решения уравнения \( \cos^3 x + \sin^3 x - \sin 2x - 1 = 0 \), следуйте этим шагам:

1. Используем тригонометрические тождества для синуса и косинуса: \[ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) \] Поскольку \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), то \[ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) \]
2. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Тогда \[ \sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \frac{1}{2} \sin 2x) \]
3. Подставляем выражение для \(\sin^3 x + \cos^3 x\) в исходное уравнение: \[ (\sin x + \cos x)(1 - \frac{1}{2} \sin 2x) - \sin 2x - 1 = 0 \]
4. Раскрываем скобки: \[ \sin x + \cos x - \frac{1}{2} \sin 2x (\sin x + \cos x) - \sin 2x - 1 = 0 \]
5. Объединяем подобные члены: \[ \sin x + \cos x - \sin 2x - \frac{1}{2} \sin 2x (\sin x + \cos x) - 1 = 0 \]
6. Извлекаем общий множитель \(\sin x + \cos x\): \[ (\sin x + \cos x) \left(1 - \frac{1}{2} \sin 2x \right) - \sin 2x - 1 = 0 \]
7. Преобразуем уравнение: \[ (\sin x + \cos x) \left(1 - \frac{1}{2} \sin 2x \right) = \sin 2x + 1 \]
8. Рассматриваем два случая:
   1. Если \(\sin x + \cos x = 0\): \[ \sin x = -\cos x \implies \tan x = -1 \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   2. Если \(\sin x + \cos x \neq 0\): \[ 1 - \frac{1}{2} \sin 2x = \frac{\sin 2x + 1}{\sin x + \cos x} \] Решим это уравнение для \(\sin 2x\): \[ \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
9. Объединяем решения: \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \) или \( x = \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z} \)