Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на совместную работу ОГЭ Текстовые задачи Задачи на совместную работу

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, Задачи на совместную работу, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Бассейн наполняется из двух труб за 7,5 часов. Если открыть только первую трубу, то бассейн наполнится на 8 часов быстрее, чем если открыть только вторую трубу. Сколько времени будет наполняться бассейн второй трубой?

Ответ

20

Решение № 17616:

Для решения задачи о наполнении бассейна из двух труб выполним следующие шаги:

1. Обозначим время, за которое первая труба наполняет бассейн, как \( t_1 \), а время, за которое вторая труба наполняет бассейн, как \( t_2 \).
2. Из условия задачи известно, что бассейн наполняется из двух труб за 7,5 часов. Это означает, что суммарная производительность двух труб равна \( \frac{1}{7.5} \) бассейна в час.
3. Производительность первой трубы равна \( \frac{1}{t_1} \), а производительность второй трубы равна \( \frac{1}{t_2} \).
4. Суммарная производительность двух труб выражается уравнением: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{7.5} \]
5. Из условия задачи также известно, что первая труба наполняет бассейн на 8 часов быстрее, чем вторая труба. Это означает: \[ t_1 = t_2 - 8 \]
6. Подставим \( t_1 = t_2 - 8 \) в уравнение суммарной производительности: \[ \frac{1}{t_2 - 8} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{7.5} \]
7. Найдем общее знаменатель и упростим уравнение: \[ \frac{t_2 + (t_2 - 8)}{(t_2 - 8) \cdot t_2} = \frac{1}{7.5} \] \[ \frac{2t_2 - 8}{t_2^2 - 8t_2} = \frac{1}{7.5} \]
8. Перемножим обе части уравнения на \( t_2^2 - 8t_2 \): \[ 2t_2 - 8 = \frac{t_2^2 - 8t_2}{7.5} \] \[ 2t_2 - 8 = \frac{t_2^2 - 8t_2}{7.5} \cdot 7.5 \] \[ 2t_2 - 8 = t_2^2 - 8t_2 \]
9. Приведем уравнение к квадратному виду: \[ t_2^2 - 10t_2 + 8 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение методом дискриминанта или факторизации: \[ t_2 = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2} \] \[ t_2 = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2} \] \[ t_2 = \frac{10 \pm 2\sqrt{17}}{2} \] \[ t_2 = 5 \pm \sqrt{17} \]
11. Выберем положительное значение, так как время не может быть отрицательным: \[ t_2 = 5 + \sqrt{17} \]

Таким образом, время, за которое вторая труба наполняет бассейн, есть \( t_2 = 5 + \sqrt{17} \) часов. Ответ: \( 5 + \sqrt{17} \)